设 $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$，要证 $\langle\psi'|\psi'\rangle = \langle\psi|\psi\rangle$。先备两件工具：乘积的共轭转置要反序，$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$；对 $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$ 取左矢得 $\langle\psi'| = \langle\psi|U^\dagger$。证明只需两行：
$$\langle\psi'|\psi'\rangle = \langle\psi|U^\dagger \cdot U|\psi\rangle = \langle\psi|(U^\dagger U)|\psi\rangle = \langle\psi|I|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle$$
第一步把左矢与右矢各自展开，让 $U^\dagger$ 与 $U$ 面对面站好；第二步用定义 $U^\dagger U = I$ 缩并。把两处相同的 $\psi$ 换成两个不同的态，推导逐字成立：$\langle U\phi|U\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle$——保内积比保范数更强，任何一对态的"夹角"也不变。数值验证：$U = H$、$|\psi\rangle = |0\rangle$ 时 $H|0\rangle = |+\rangle$，而 $\langle +|+\rangle = 1/2 + 1/2 = 1 = \langle 0|0\rangle$。演化前归一化则演化后仍归一化，总概率永不丢失——幺正性就是概率守恒的数学形式。