- 命题框：设 |ψ′⟩ = U|ψ⟩，则 ⟨ψ′|ψ′⟩ = ⟨ψ|ψ⟩
- 工具行：① 乘积共轭转置反序 (AB)† = B†A†；② 对 |ψ′⟩ = U|ψ⟩ 取左矢：⟨ψ′| = ⟨ψ|U†
- 证明（逐行，等号对齐感）：
1. ⟨ψ′|ψ′⟩ = ⟨ψ|U† · U|ψ⟩（左右各自展开，U† 与 U 面对面站好）
2. = ⟨ψ|(U†U)|ψ⟩ = ⟨ψ|I|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩（用定义 U†U = I 缩并）
- 推广行：把两处相同的 ψ 换成两个不同的态，推导逐字成立 → ⟨Uφ|Uψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩——保内积比保范数更强（任何一对态的"夹角"也不变）
- 数值验证行：U = H、|ψ⟩ = |0⟩：H|0⟩ = (1/√2)(|0⟩ + |1⟩) = |+⟩ → ⟨+|+⟩ = 1/2 + 1/2 = 1 = ⟨0|0⟩ ✓
- 结果框：演化前归一化 ⟹ 演化后仍归一化；总概率 1 永不丢失——幺正性 = 概率守恒的数学形式