第 4 课 · 量子比特、张量积、纠缠与通用门集 · 模块一：基础与工具

张量积：不是 $2+2$，是 $2\times 2$

命题框：复合系统空间 $= \mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$，维数 $2\times 2 = 4$（乘法而非加法）
推导步骤：
1. 组合基态（$2^2 = 4$ 个）：$|0\rangle\otimes|0\rangle \equiv |00\rangle$、$|0\rangle\otimes|1\rangle \equiv |01\rangle$、$|1\rangle\otimes|0\rangle \equiv |10\rangle$、$|1\rangle\otimes|1\rangle \equiv |11\rangle$
2. 列向量演算（第一个矢量的每个分量去乘第二个矢量，再按序堆叠）：

$|01\rangle = (1,0)^{T} \otimes (0,1)^{T} = ( 1\cdot(0,1)^{T} ; 0\cdot(0,1)^{T} ) = (0,1,0,0)^{T}$

一般乘积态展开：$(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\otimes(\gamma|0\rangle+\delta|1\rangle) = \alpha\gamma|00\rangle + \alpha\delta|01\rangle + \beta\gamma|10\rangle + \beta\delta|11\rangle$——四维系数 = 两对单比特系数逐项相乘

结果框：比特串 $x$ ↔ 标准基矢 $|x\rangle$ 一一对应（"01" 落在 $(0,1,0,0)^{T}$ 第 2 分量）；$n$ 比特 → $2^n$ 维

类型definition-derivation

讲义

第 6/15 页 · 张量积：不是 $2+2$，是 $2\times 2$

复合系统的态空间是 $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$，维数 $2\times 2 = 4$——是乘法而非加法。两比特共有 $2^2 = 4$ 个组合基态：$|0\rangle\otimes|0\rangle \equiv |00\rangle$、$|01\rangle$、$|10\rangle$、$|11\rangle$，左边字符属第一个比特、右边属第二个。列向量演算规则是用第一个矢量的每个分量去乘第二个矢量、再按序堆叠，例如 $|01\rangle = (1,0)^{T}\otimes(0,1)^{T} = (0,1,0,0)^{T}$——标签"01"恰好落在第 2 个分量上。一般乘积态 $(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\otimes(\gamma|0\rangle+\delta|1\rangle) = \alpha\gamma|00\rangle+\alpha\delta|01\rangle+\beta\gamma|10\rangle+\beta\delta|11\rangle$，四维系数由两对单比特系数逐项相乘得到。于是比特串 $x$ 与标准基矢 $|x\rangle$ 一一对应，$n$ 比特对应 $2^n$ 维。