第 4 课 · 量子比特、张量积、纠缠与通用门集 · 模块一：基础与工具

不可分割：反证法四步

  • 命题框：不存在单比特态 $|\psi_A\rangle$、$|\psi_B\rangle$ 使 $|\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle = |\Phi^+\rangle$
  • 证明步骤（反证法，逐行）：
    1. 反设分解存在：$|\psi_A\rangle = a|0\rangle+b|1\rangle$、$|\psi_B\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$（$a$、$b$、$c$、$d \in \mathbb{C}$）
    2. 展开张量积：$|\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle = ac|00\rangle + ad|01\rangle + bc|10\rangle + bd|11\rangle$
    3. 与 $|\Phi^+\rangle = (1/\sqrt{2})|00\rangle + 0|01\rangle + 0|10\rangle + (1/\sqrt{2})|11\rangle$ 逐系数比较：$ac = 1/\sqrt{2}$，$ad = 0$，$bc = 0$，$bd = 1/\sqrt{2}$
    4. 追矛盾：$ac \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ 且 $c \ne 0$；$ad = 0$ 与 $a \ne 0 \Rightarrow d = 0$；但 $bd = 1/\sqrt{2} \ne 0$ 要求 $d \ne 0$——矛盾
  • 结果框：反设不成立，证毕——$|\Phi^+\rangle$ 不可写成任何张量积；纠缠态中单比特没有独立状态，"整体严格大于部分之和"的数学含义即此
类型definition-derivation（证明页，重点页占满）