量子门 = 幺正矩阵

• 命题框：量子门 = 作用在态矢量上的幺正矩阵，$U^\dagger U = UU^\dagger = I$（$U^\dagger$ 为共轭转置）
• 推导步骤（两条推论，逐行）：
  1. 可逆性：$U^\dagger U = I$ 与 $UU^\dagger = I$ 合看 $\Rightarrow U^{-1} = U^\dagger$——任何量子门都可被撤销
  2. 概率守恒：设 $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$，用乘积共轭转置规则 $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$：

$\langle\psi'|\psi'\rangle = (U|\psi\rangle)^\dagger(U|\psi\rangle) = \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|I|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle$

1. 物理读法：演化前 $\langle\psi|\psi\rangle = 1$ $\Rightarrow$ 演化后仍 $= 1$——测量概率总和对任何门作用守恒

• 结果框：量子演化 = 可逆且保范数的线性代数；这也是与经典逻辑门（与/或不可逆）的代数分界