单比特门三件套：X、Z、H

• 门卡 1（泡利-X，量子非门）：$X = \begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$

演算 $X|0\rangle = (0\times 1+1\times 0,\, 1\times 1+0\times 0)^{T} = (0,1)^{T} = |1\rangle$；同理 $X|1\rangle = |0\rangle$；几何：绕布洛赫球 X 轴旋转 $180^\circ$

• 门卡 2（泡利-Z，相位翻转门）：$Z = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$

$Z|0\rangle = |0\rangle$、$Z|1\rangle = -|1\rangle$；概率不变（$|-1|^2 = 1$），$|1\rangle$ 分量获得相位 $-1$；几何：绕 Z 轴旋转 $180^\circ$

• 门卡 3（哈达玛门，叠加态创造者）：$H = (1/\sqrt{2})\cdot\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}$

$H|0\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2} \equiv |+\rangle$、$H|1\rangle = (|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2} \equiv |-\rangle$；几何：绕 X–Z 角平分轴旋转 $180^\circ$

• 演算（验证 $H^2 = I$，四个元素两两相乘求和，分母 $(1/\sqrt{2})\times(1/\sqrt{2}) = 1/2$）：

$H^2 = (1/2)\cdot\begin{bmatrix}1+1 & 1-1\\1-1 & 1+1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} = I$；又 H 实对称 $\Rightarrow H^\dagger = H \Rightarrow H^\dagger H = H^2 = I$ ✓

• 结果框：X 翻转、Z 加相位、H 造叠加；H 是自身的逆——第 5 课 X-基测量的钥匙