CNOT：最重要的双比特门

• 命题框（单比特门的极限）：$(U_1\otimes U_2)(|a\rangle\otimes|b\rangle) = (U_1|a\rangle)\otimes(U_2|b\rangle)$——乘积态进、乘积态出，单比特门永远造不出纠缠
• 定义与矩阵：CNOT（控制位 = 第 1 比特，目标位 = 第 2 比特）为 $4\times 4$ 置换矩阵

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$$

每列恰为某个计算基矢（整列只有一个 1）$\Rightarrow$ 各列正交归一 $\Rightarrow$ CNOT 幺正

• 作用演算（从矩阵逐列读出）：$\mathrm{CNOT}|00\rangle = |00\rangle$；$\mathrm{CNOT}|01\rangle = |01\rangle$；$\mathrm{CNOT}|10\rangle = |11\rangle$（翻转）；$\mathrm{CNOT}|11\rangle = |10\rangle$（翻转）——控制位为 1 才翻转目标位
• 结果框：制造纠缠必须用至少涉及两个比特的门；CNOT 是最重要的双比特门