- 定理框：部件 (i) 任意单比特酉门 + (ii) CNOT ⇒ 任意 2ⁿ×2ⁿ 酉矩阵 U 可由这两类门精确实现（量子版 NAND 通用性；任何量子算法在末端测量前都是酉演化）
- 归约链四节点（各带公式）：
- 引理 1（ZYZ 分解）：任意 2×2 酉矩阵 U = e^{iα}·R_z(β)·R_y(γ)·R_z(δ)，其中
R_z(t) = ⎡e^{−it/2} 0 ⎤ R_y(t) = ⎡ cos(t/2) −sin(t/2) ⎤
⎣ 0 e^{it/2}⎦ ⎣ sin(t/2) cos(t/2) ⎦
（教材含完整证明：先展开三矩阵积，再由酉性提取辐角约束，逐元匹配）
- 引理 2（两级酉矩阵分解）：任意 N×N 酉矩阵 = 至多 N(N−1)/2 个两级酉矩阵之积。核心 2×2 块
W = ⎡a c⎤
⎣−c a ⎦
是酉的（两行模长 √(|a|²+|c|²) = 1 且内积为 0），且 W·(a,c)ᵀ = (|a|²+|c|², 0)ᵀ = (1,0)ᵀ——把指定列转到标准基矢，模仿高斯消元逐列清零。演算：N = 4（两比特）时至多 4×3/2 = 6 个两级酉矩阵
- 引理 3（受控门构造）：受控-U = 2 个 CNOT + 3 个单比特门 + 1 个相位门；关键恒等式 X·R_z(t)·X = R_z(−t)（X·R_y(t)·X = R_y(−t) 同理）——控制位 |0⟩ 时目标比特三门抵消为 I，控制位 |1⟩ 时合成 e^{iα}R_z(β)R_y(γ)R_z(δ) = U
- 引理 4（Gray 码化简）：任两个 n 位二进制串可用 Gray 码链连接（链上相邻串恰差 1 比特）⇒ 两级酉矩阵化为（多）受控单比特门，再进一步化为 CNOT + 单比特门
- 两点说明：① 引理 2 门数随 N = 2ⁿ 指数增长——本定理是"原则上可实现"的通用性，实际算法用远更经济的电路结构；② 有限门集 {H, T, CNOT} 在任意精度逼近意义下同样通用——T 门为对角阵 diag(1, e^{iπ/4})，H、T 生成的单比特门在全体单比特酉门中稠密，Solovay–Kitaev 定理保证逼近高效