- 定理框：部件 (i) 任意单比特酉门 + (ii) CNOT $\Rightarrow$ 任意 $2^n\times 2^n$ 酉矩阵 U 可由这两类门精确实现（量子版 NAND 通用性；任何量子算法在末端测量前都是酉演化）
- 归约链四节点（各带公式）：
- 引理 1（ZYZ 分解）：任意 $2\times 2$ 酉矩阵 $U = e^{i\alpha}\cdot R_z(\beta)\cdot R_y(\gamma)\cdot R_z(\delta)$，其中 $R_z(t) = \begin{bmatrix}e^{-it/2} & 0\\0 & e^{it/2}\end{bmatrix}$、$R_y(t) = \begin{bmatrix}\cos(t/2) & -\sin(t/2)\\\sin(t/2) & \cos(t/2)\end{bmatrix}$
（教材含完整证明：先展开三矩阵积，再由酉性提取辐角约束，逐元匹配）
- 引理 2（两级酉矩阵分解）：任意 $N\times N$ 酉矩阵 = 至多 $N(N-1)/2$ 个两级酉矩阵之积。核心 $2\times 2$ 块 $W = \begin{bmatrix}a^* & c^*\\-c & a\end{bmatrix}$ 是酉的（两行模长 $\sqrt{(|a|^2+|c|^2)} = 1$ 且内积为 0），且 $W\cdot(a,c)^{T} = (|a|^2+|c|^2,\, 0)^{T} = (1,\, 0)^{T}$——把指定列转到标准基矢，模仿高斯消元逐列清零。演算：$N = 4$（两比特）时至多 $4\times 3/2 = 6$ 个两级酉矩阵
- 引理 3（受控门构造）：受控-U = 2 个 CNOT + 3 个单比特门 + 1 个相位门；关键恒等式 $X\cdot R_z(t)\cdot X = R_z(-t)$（$X\cdot R_y(t)\cdot X = R_y(-t)$ 同理）——控制位 $|0\rangle$ 时目标比特三门抵消为 $I$，控制位 $|1\rangle$ 时合成 $e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta) = U$
- 引理 4（Gray 码化简）：任两个 $n$ 位二进制串可用 Gray 码链连接（链上相邻串恰差 1 比特）$\Rightarrow$ 两级酉矩阵化为（多）受控单比特门，再进一步化为 CNOT + 单比特门
- 两点说明：① 引理 2 门数随 $N = 2^n$ 指数增长——本定理是"原则上可实现"的通用性，实际算法用远更经济的电路结构；② 有限门集 {H, T, CNOT} 在任意精度逼近意义下同样通用——T 门为对角阵 $\mathrm{diag}(1,\, e^{i\pi/4})$，H、T 生成的单比特门在全体单比特酉门中稠密，Solovay–Kitaev 定理保证逼近高效