第 5 课 · 测量系统化——Z-基、X-基、部分测量与期望值 · 模块一：基础与工具

换基测量：一般技巧

  • 命题框：目标正交基 $\{|u_0\rangle, |u_1\rangle\}$ 排成酉矩阵 U 的两列（$U|i\rangle = |u_i\rangle$）
  • 推导步骤（逐行）：
    1. 待测态按目标基展开：$|\psi\rangle = c_0|u_0\rangle + c_1|u_1\rangle$
    2. 作用 $U^\dagger$：$U^\dagger|u_i\rangle = U^\dagger U|i\rangle = |i\rangle$（用幺正性 $U^\dagger U = I$）
    3. 得 $U^\dagger|\psi\rangle = c_0|0\rangle + c_1|1\rangle$
    4. Z-基测得 $i$ 的概率 $= |c_i|^2$——恰是"在基 $\{|u_i\rangle\}$ 下测得 $|u_i\rangle$"应有的概率
  • 结果框：先转基、再测量 ≡ 直接在目标基下测量（统计等价）——不造新仪器，只做线性代数
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