第 5 课 · 测量系统化——Z-基、X-基、部分测量与期望值 · 模块一：基础与工具

示例：在 X-基下测量 $|0\rangle$

  • 题面：$|\psi\rangle = |0\rangle$，X-基下测得 $|+\rangle$ / $|-\rangle$ 的概率各是多少？
  • 代入过程（三步，逐行）：
    1. 初始态 $|\psi\rangle = |0\rangle$
    2. 基变换：$H|\psi\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{2}$
    3. Z-基测量：$P(0) = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2$、$P(1) = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2$ → $P(|+\rangle) = P(|-\rangle) = 1/2$（各 50%）
  • 验证（代数来源，逐行）：$|0\rangle = (|+\rangle + |-\rangle)/\sqrt{2}$ 代回定义 $= (1/\sqrt{2})\cdot(1/\sqrt{2})[(|0\rangle+|1\rangle) + (|0\rangle-|1\rangle)] = (1/2)\cdot 2|0\rangle = |0\rangle$ ✓——两个 $|1\rangle$ 分量相消、两个 $|0\rangle$ 分量相加
  • 结果框：50/50 不是随机噪声，是幅叠加的代数事实——相位显形、干涉发生的现场
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