第 5 课 · 测量系统化——Z-基、X-基、部分测量与期望值 · 模块一：基础与工具

期望值：定义与"结果 $\times$ 概率"

  • 命题框：$\langle M\rangle = \langle\psi|M|\psi\rangle$；M 埃尔米特（$M = M^\dagger$）→ 本征值 $m_i$ 全实数、本征态 $\{|m_i\rangle\}$ 构成标准正交基
  • 推导步骤（逐行，等号对齐感）：
    1. 按本征基展开：$|\psi\rangle = \sum_j \langle m_j|\psi\rangle|m_j\rangle$
    2. 左右各插入恒等算符分解 $I = \sum_i |m_i\rangle\langle m_i|$
    3. $\langle M\rangle = \sum_{i,j} \langle\psi|m_i\rangle\cdot\langle m_i|M|m_j\rangle\cdot\langle m_j|\psi\rangle$
    4. 代入本征方程：$\langle m_i|M|m_j\rangle = m_j\langle m_i|m_j\rangle = m_j\cdot\delta_{ij}$（$i = j$ 时 1、否则 0）→ 双重求和坍缩
    5. $\langle M\rangle = \sum_j m_j\cdot|\langle m_j|\psi\rangle|^2$
  • 结果框：期望值 $= \sum(\text{结果} \times \text{概率})$；$|\langle m_j|\psi\rangle|^2$ 正是本征基下的玻恩概率——第 4 页规则在算符语言下的重述
类型definition-derivation（本课核心推导，占满）