期望值：定义与"结果 × 概率"

• 命题框：⟨M⟩ = ⟨ψ|M|ψ⟩；M 埃尔米特（M = M†）→ 本征值 mᵢ 全实数、本征态 {|mᵢ⟩} 构成标准正交基
• 推导步骤（逐行，等号对齐感）：

1. 按本征基展开：|ψ⟩ = Σⱼ ⟨mⱼ|ψ⟩|mⱼ⟩

2. 左右各插入恒等算符分解 I = Σᵢ |mᵢ⟩⟨mᵢ|

3. ⟨M⟩ = Σ_{i,j} ⟨ψ|mᵢ⟩·⟨mᵢ|M|mⱼ⟩·⟨mⱼ|ψ⟩

4. 代入本征方程：⟨mᵢ|M|mⱼ⟩ = mⱼ⟨mᵢ|mⱼ⟩ = mⱼ·δᵢⱼ（i = j 时 1、否则 0）→ 双重求和坍缩

5. ⟨M⟩ = Σⱼ mⱼ·|⟨mⱼ|ψ⟩|²

• 结果框：期望值 = Σ（结果 × 概率）；|⟨mⱼ|ψ⟩|² 正是本征基下的玻恩概率——第 4 页规则在算符语言下的重述