- 命题框：Z 的本征值 +1（本征态 |0⟩，即 Z|0⟩ = |0⟩）与 −1（本征态 |1⟩，即 Z|1⟩ = −|1⟩）
- 方法一（公式法，逐行）：
1. ⟨Z⟩ = (α⟨0| + β⟨1|)(α|0⟩ − β|1⟩)
2. 展开：αα⟨0|0⟩ − ββ⟨1|1⟩ + 四个交叉项（⟨0|1⟩ = ⟨1|0⟩ = 0，全部归零）
3. = |α|² − |β|²
- 方法二（概率法）：(+1)·|α|² + (−1)·|β|² = |α|² − |β|²——两法一致
- 演算三行：|0⟩ → 1（每次 +1）；|1⟩ → −1；|+⟩ → 1/2 − 1/2 = 0（单次读数永不为 0）
- 数值例（布洛赫态 θ = π/4）：P(0) = cos²(π/8) ≈ 0.854、P(1) = sin²(π/8) ≈ 0.146 → ⟨Z⟩ ≈ 0.854 − 0.146 = 0.707 = cos(π/4) = √2/2
- 结果框：⟨Z⟩ = 测 +1 的概率减测 −1 的概率；一般布洛赫态 ⟨Z⟩ = cosθ