- 命题框：Z 的本征值 $+1$（本征态 $|0\rangle$，即 $Z|0\rangle = |0\rangle$）与 $-1$（本征态 $|1\rangle$，即 $Z|1\rangle = -|1\rangle$）
- 方法一（公式法，逐行）：
- $\langle Z\rangle = (\alpha^*\langle 0| + \beta^*\langle 1|)(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle)$
- 展开：$\alpha^*\alpha\langle 0|0\rangle - \beta^*\beta\langle 1|1\rangle$ + 四个交叉项（$\langle 0|1\rangle = \langle 1|0\rangle = 0$，全部归零）
- $= |\alpha|^2 - |\beta|^2$
- 方法二（概率法）：$(+1)\cdot|\alpha|^2 + (-1)\cdot|\beta|^2 = |\alpha|^2 - |\beta|^2$——两法一致
- 演算三行：$|0\rangle \to 1$（每次 $+1$）；$|1\rangle \to -1$；$|+\rangle \to 1/2 - 1/2 = 0$（单次读数永不为 0）
- 数值例（布洛赫态 $\theta = \pi/4$）：$P(0) = \cos^2(\pi/8) \approx 0.854$、$P(1) = \sin^2(\pi/8) \approx 0.146$ → $\langle Z\rangle \approx 0.854 - 0.146 = 0.707 = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$
- 结果框：$\langle Z\rangle$ = 测 $+1$ 的概率减测 $-1$ 的概率；一般布洛赫态 $\langle Z\rangle = \cos\theta$
类型worked-example