第 5 课 · 测量系统化——Z-基、X-基、部分测量与期望值 · 模块一：基础与工具

多比特期望值：$\langle Z_0\rangle$ 与线性性

  • 命题框：按书写顺序编号，$Z_0 = Z\otimes I$（Z 作用在最左比特）；一般地 $Z_i = I\otimes\cdots\otimes Z\otimes\cdots\otimes I$（Z 在第 $i$ 位）
  • 推导/演算步骤（$|\Phi^+\rangle$ 例，逐行）：
    1. $(Z\otimes I)|\Phi^+\rangle = (1/\sqrt{2})[(Z|0\rangle)\otimes|0\rangle + (Z|1\rangle)\otimes|1\rangle] = (1/\sqrt{2})(|00\rangle - |11\rangle)$
    2. $\langle Z_0\rangle = \langle\Phi^+|(Z\otimes I)|\Phi^+\rangle = (1/2)(\langle 00| + \langle 11|)(|00\rangle - |11\rangle) = (1/2)(1 - 1) = 0$（交叉项 $\langle 00|11\rangle$ 正交归零）
    3. 概率法复核（正是第 8 页部分测量）：$P(0) = 1/2$（值 $+1$）、$P(1) = 1/2$（值 $-1$）→ $(+1)(1/2) + (-1)(1/2) = 0$
    4. 线性性：$\langle Z_0+Z_1\rangle = \langle\psi|Z_0|\psi\rangle + \langle\psi|Z_1|\psi\rangle$（矩阵乘法分配律）；同法算 $(I\otimes Z)|\Phi^+\rangle = (1/\sqrt{2})(|00\rangle - |11\rangle)$ → $\langle Z_1\rangle = 0$
  • 结果框：$\langle Z_0\rangle + \langle Z_1\rangle = 0 + 0 = 0$——期望值对算符线性，可逐项算再相加
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