多比特期望值：⟨Z₀⟩ 与线性性

• 命题框：按书写顺序编号，Z₀ = Z⊗I（Z 作用在最左比特）；一般地 Zᵢ = I⊗⋯⊗Z⊗⋯⊗I（Z 在第 i 位）
• 推导/演算步骤（|Φ⁺⟩ 例，逐行）：

1. (Z⊗I)|Φ⁺⟩ = (1/√2)[(Z|0⟩)⊗|0⟩ + (Z|1⟩)⊗|1⟩] = (1/√2)(|00⟩ − |11⟩)

2. ⟨Z₀⟩ = ⟨Φ⁺|(Z⊗I)|Φ⁺⟩ = (1/2)(⟨00| + ⟨11|)(|00⟩ − |11⟩) = (1/2)(1 − 1) = 0（交叉项 ⟨00|11⟩ 正交归零）

3. 概率法复核（正是第 8 页部分测量）：P(0) = 1/2（值 +1）、P(1) = 1/2（值 −1）→ (+1)(1/2) + (−1)(1/2) = 0

4. 线性性：⟨Z₀+Z₁⟩ = ⟨ψ|Z₀|ψ⟩ + ⟨ψ|Z₁|ψ⟩（矩阵乘法分配律）；同法算 (I⊗Z)|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ − |11⟩) → ⟨Z₁⟩ = 0

• 结果框：⟨Z₀⟩ + ⟨Z₁⟩ = 0 + 0 = 0——期望值对算符线性，可逐项算再相加