第 8 课 · 第一个量子算法——Deutsch-Jozsa 与 Bernstein-Vazirani · 模块二：算法主线

经典解法的代价：指数墙与概率台阶

命题框：确定性最坏 $2^{n-1}+1$ 次查询；随机"k 次全同判常数"规则错误率 $\le 2^{-k}$
推导步骤（逐行）：
1. 确定性下界：存在平衡 $f$ 使任意 $2^{n-1}$ 个查询全返回 0（取 0 的那一半恰被查遍）→ 前 $2^{n-1}$ 次无定论；第 $2^{n-1}+1$ 次必分晓
2. 随机错误来源：仅当 $f$ 实为平衡而 $k$ 次抽样恰好全同；给定平衡，$k$ 次全同概率 $\le 2^{1-k}$（$k=2$ 的精确值为 $(2^{n-1}-1)/(2^n-1)$）
3. 演算 $n=4$、$k=2$：$(2^3-1)/(2^4-1) = 7/15 \approx 0.467 \le 1/2$ ✓
4. 先验各半 → 规则总错误率 $\le 1/2\cdot 2^{1-k} = 2^{-k}$；反演：要错误率 $\varepsilon=1\%$，取 $k=7$（$2^{-7} = 1/128 \approx 0.78\%$）→ $k = O(\log(1/\varepsilon))$
5. 规模演算：$n=10$ → $2^9+1 = 513$ 次；$n=100$ → $2^{99}+1 \approx 6.3\times10^{29}$ 次
结果框：确定性 = 指数次；随机 = 常数次但带错误率——量子的目标是 1 次且概率 1

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讲义

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确定性下界 $2^{n-1}+1$：存在平衡 $f$ 使任意 $2^{n-1}$ 个查询全返回 0（取 0 的那一半恰被查遍），前 $2^{n-1}$ 次无定论，第 $2^{n-1}+1$ 次必分晓。随机规则"$k$ 次全同判常数"仅当 $f$ 实为平衡而 $k$ 次恰好全同时出错：给定平衡，$k$ 次全同概率 $\le 2^{1-k}$，先验各半时总错误率 $\le\frac{1}{2}\cdot 2^{1-k}=2^{-k}$；要错误率 $\varepsilon=1\%$ 取 $k=7$（$2^{-7}=1/128\approx 0.78\%$），即 $k=O(\log(1/\varepsilon))$。演算 $n=4$、$k=2$ 的精确值：$(2^3-1)/(2^4-1)=7/15\approx 0.467\le 1/2$。规模演算：$n=10$ 需 513 次，$n=100$ 需约 $6.3\times10^{29}$ 次。确定性是指数次，随机是常数次但带错误率——量子的目标是 1 次且概率 1。