第 8 课 · 第一个量子算法——Deutsch-Jozsa 与 Bernstein-Vazirani · 模块二：算法主线

关键技巧：相位回踢（本课第一个高潮）

命题框（目标结论）：$U_f|x\rangle|-\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle|-\rangle$
推导步骤（逐行，等号对齐感）：
1. 制备：$|0\rangle$ →X→ $|1\rangle$ →H→ $|-\rangle = (|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$
2. 线性展开：$U_f|x\rangle|-\rangle = (1/\sqrt{2})\cdot(U_f|x\rangle|0\rangle - U_f|x\rangle|1\rangle) = (1/\sqrt{2})\cdot(|x\rangle|f(x)\rangle - |x\rangle|1\oplus f(x)\rangle)$
3. 代入 $f(x)=0$：$= (1/\sqrt{2})(|x\rangle|0\rangle - |x\rangle|1\rangle) = (+1)\cdot|x\rangle|-\rangle$
4. 代入 $f(x)=1$：$= (1/\sqrt{2})(|x\rangle|1\rangle - |x\rangle|0\rangle) = (-1)\cdot|x\rangle|-\rangle$（两分量互换 ⇔ 整体提出公因子 $-1$）
5. 合并：按指数奇偶性统一为 $(-1)^{f(x)}$，两种情形一行写完
结果框：$f(x)$ 不再翻转辅助比特，而是化为数据寄存器分量 $|x\rangle$ 上的相位因子；辅助比特与数据寄存器解耦

类型definition-derivation（重点页，占满）

讲义

第 7/15 页 · 关键技巧：相位回踢（本课第一个高潮）

辅助比特由 $|0\rangle$ 经 $X$ 门到 $|1\rangle$、再经 $H$ 门，制备成 $|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$。由线性性展开：

$$U_f|x\rangle|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|x\rangle|f(x)\rangle-|x\rangle|1\oplus f(x)\rangle\right)$$

代入 $f(x)=0$：两分量原位不动，得 $(+1)\cdot|x\rangle|-\rangle$；代入 $f(x)=1$：两分量互换位置，整体提出公因子 $-1$，得 $(-1)\cdot|x\rangle|-\rangle$。按指数奇偶性合并为一行：

$$U_f|x\rangle|-\rangle=(-1)^{f(x)}|x\rangle|-\rangle$$

函数值不再翻转辅助比特，而是化为数据寄存器分量 $|x\rangle$ 上的相位因子；辅助比特与数据寄存器就此解耦。比特变成了相位——量子算法的许多戏法都从这一步开始。