第 8 课 · 第一个量子算法——Deutsch-Jozsa 与 Bernstein-Vazirani · 模块二：算法主线

D-J 算法：四步推导

  • 命题框（核心恒等式）：$H^{\otimes n}|x\rangle = (1/\sqrt{2^n})\cdot\sum_z (-1)^{x\cdot z}|z\rangle$，其中 $x\cdot z = (x_1z_1\oplus x_2z_2\oplus\ldots) \bmod 2$（按位点积，共 $n$ 项）
  • 推导步骤：
    1. Step 0：$|\psi_0\rangle = |0\ldots 0\rangle \otimes |1\rangle$
    2. Step 1：全体 Hadamard → $|\psi_1\rangle = (1/\sqrt{2^n})\cdot\sum_x |x\rangle \otimes |-\rangle$（$H|1\rangle=|-\rangle$，逐位张量）
    3. Step 2：一次 $U_f$ + 相位回踢 → $|\psi_2\rangle = (1/\sqrt{2^n})\cdot\sum_x (-1)^{f(x)}|x\rangle \otimes |-\rangle$——一次查询并行加载全部 $f(x)$
    4. 恒等式推导（两行）：单比特 $H|x\rangle = (1/\sqrt{2})\cdot\sum_z (-1)^{x\cdot z}|z\rangle$ 一式覆盖 $x=0,1$ 两种情形；逐位张量、相位相乘（指数模 2 相加）→ $n$ 比特公式
    5. Step 3：再施 $H^{\otimes n}$ → $|\psi_3\rangle = (1/2^n)\cdot\sum_x\sum_z (-1)^{f(x)\oplus x\cdot z}|z\rangle \otimes |-\rangle$（同底幂相乘 = 指数模 2 相加）
  • 结果框：只需读 $z=00\ldots 0$ 一项的振幅——下页 $n=2$ 逐个代数字
类型definition-derivation（本课信息量最大）