- 命题框：承诺 $f_s(x) = s\cdot x = (s_1x_1+s_2x_2+\ldots) \bmod 2$；关键代数性质 $s\cdot(x\oplus x') = (s\cdot x)\oplus(s\cdot x')$（对第二变元线性）
- 推导/演算步骤：
- 演算（$s=101$）：$s\cdot 011 = (1\cdot 0\oplus 0\cdot 1\oplus 1\cdot 1) = 1$；$s\cdot 110 = (1\cdot 1\oplus 0\cdot 1\oplus 1\cdot 0) = 1$；$011\oplus 110 = 101$，$s\cdot 101 = 1\oplus 1 = 0 = (s\cdot 011)\oplus(s\cdot 110)$ ✓ 线性性验证
- 经典上界：对只含单个 1 的单位输入 $e$（第 $j$ 位为 1），$s\cdot e$ = $s$ 的第 $j$ 位（线性性推论）→ 依次查 $n$ 个单位输入，逐位拼出 $s$
- 经典下界：$k$ 次查询只得关于 $s$ 的 $k$ 个线性方程；$k < n$ $\Rightarrow$ 方程组的正交补中存在非零 $u$（与全部被查输入内积为 0）$\Rightarrow$ $s$ 与 $s\oplus u$ 应答全同：$(s\oplus u)\cdot x = (s\cdot x)\oplus(u\cdot x) = s\cdot x$——任何确定性算法必在二者之一上出错
- 随机版：$k$ 次应答把候选 $s$ 限制在大小 $\ge 2^{n-k}$ 的仿射子空间内且各候选等可能 → 单次猜对概率 $\le 2^{-(n-k)}$；演算 $n=3$、$k=1$ → $\le 1/4$ → 仍需 $\Theta(n)$ 次
- 与 D-J 承诺的关系：$s=0$ $\Rightarrow$ 常数；$s\ne 0$ $\Rightarrow$ 取 $s$ 中任一为 1 的位 $j$，配对 $x$ 与 $x\oplus e$（该位翻转），$f_s$ 随之取反 $\Rightarrow$ 恰一半 0 一半 1 = 平衡
- 结果框：经典 $\Theta(n)$ 次查询是紧的；下一页同一条电路 1 次读出 $s$
类型definition-derivation