- 命题框 1（经典 DFT）：$\hat{a}_k = \sum_j a_j\cdot e^{2\pi i\cdot jk/N}$（$j, k = 0\ldots N-1$）；矩阵元 $F_{kj} = \omega^{jk}$，$\omega = e^{2\pi i/N}$；FFT 把计算量从 $O(N^2)$ 压到 $O(N \log N)$
- 命题框 2（QFT 定义，大字）：$\mathrm{QFT}_N|j\rangle = (1/\sqrt{N})\cdot\sum_k e^{2\pi i\cdot jk/N}|k\rangle$
- 推导/演算步骤：
- 矩阵元对照：QFT 的矩阵 = DFT 矩阵 ÷ $\sqrt{N}$——同一组元素 $\omega^{jk}$；QFT 不是作用在向量上的"计算"，而是作用在 $n = \log_2 N$ 个量子比特上的酉算子
- 数值例（$N = 4$）：$\omega = e^{\pi i/2} = i$ → 第 $j=1$ 列元素 $F_{01} = i^0 = 1$，$F_{11} = i^1 = i$，$F_{21} = i^2 = -1$，$F_{31} = i^3 = -i$（第 11 页将逐个用到）
- 酉性推导：$(F\cdot F^\dagger)_{jj'} = \sum_k e^{2\pi i(j-j')k/N}$；$j = j'$ 时每项 $= 1$，和 $= N$；$j \ne j'$ 时是公比 $\omega^{j-j'} \ne 1$ 的等比级数，用 $\omega^{(j-j')N} = e^{2\pi i(j-j')} = 1$ 得首尾相消、和 $= 0$
- 汇总：$F\cdot F^\dagger = N\cdot I$ → $(1/\sqrt{N})\cdot F$ 是酉矩阵——QFT 是合法量子操作
- 结果框：QFT 与经典 DFT 只差归一化因子 $\sqrt{N}$；DFT 矩阵酉 $\Rightarrow$ QFT 酉
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