从经典 DFT 到量子 QFT

• 命题框 1（经典 DFT）：â_k = Σⱼ aⱼ·e^{2πi·jk/N}（j, k = 0…N−1）；矩阵元 F_kj = ω^{jk}，ω = e^{2πi/N}；FFT 把计算量从 O(N²) 压到 O(N log N)
• 命题框 2（QFT 定义，大字）：QFT_N|j⟩ = (1/√N)·Σₖ e^{2πi·jk/N}|k⟩
• 推导/演算步骤：

1. 矩阵元对照：QFT 的矩阵 = DFT 矩阵 ÷ √N——同一组元素 ω^{jk}；QFT 不是作用在向量上的"计算"，而是作用在 n = log₂N 个量子比特上的酉算子

2. 数值例（N = 4）：ω = e^{πi/2} = i → 第 j=1 列元素 F₀₁ = i⁰ = 1，F₁₁ = i¹ = i，F₂₁ = i² = −1，F₃₁ = i³ = −i（第 11 页将逐个用到）

3. 酉性推导：(F·F†)_{jj′} = Σₖ e^{2πi(j−j′)k/N}；j = j′ 时每项 = 1，和 = N；j ≠ j′ 时是公比 ω^{j−j′} ≠ 1 的等比级数，用 ω^{(j−j′)N} = e^{2πi(j−j′)} = 1 得首尾相消、和 = 0

4. 汇总：F·F† = N·I → (1/√N)·F 是酉矩阵——QFT 是合法量子操作

• 结果框：QFT 与经典 DFT 只差归一化因子 √N；DFT 矩阵酉 ⟹ QFT 酉