第 9 课 · 量子傅里叶变换 · 模块二：算法主线

单比特 QFT 就是 Hadamard

  • 题面：验证 $n = 1$（$N = 2$）时 $\mathrm{QFT}_2$ 逐元素等于 H 门
  • 演算（逐行，符号式 → 代入 → 结果）：
    1. $\mathrm{QFT}_2|0\rangle$：$j = 0$ → 全部指数 $jk = 0$ → $e^0 = 1$ → $(|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{2}$
    2. $\mathrm{QFT}_2|1\rangle$：$k=0$ 项 $e^{2\pi i\cdot 0\cdot 1/2} = 1$；$k=1$ 项 $e^{2\pi i\cdot 1\cdot 1/2} = e^{\pi i} = -1$ → $(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt{2}$
    3. 矩阵汇总：$\mathrm{QFT}_2 = (1/\sqrt{2})\cdot[[1, 1], [1, -1]] = H$——逐元素相同
  • 验证行：两种输出的 $P(0) = P(1) = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2$，和 $= 1$ ✓
  • 结果框：H 是"相位刻度只有两档（$0$ 与 $\pi$）"的傅里叶变换；QFT 把同一套干涉工具推广到 $2^n$ 档相位分辨率
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