- 命题框：待证恒等式 $e^{2\pi i\cdot jk/N} = \Pi_\ell e^{2\pi i\cdot j\cdot k_\ell\cdot 2^{-\ell}}$——把 $k$ 写成二进制，相位因子自动按输出比特裂开
- 推导步骤（编号逐行）：
- 二进制展开：$k = k_1k_2\cdots k_n$ → $jk/N = j\cdot 0.k_1k_2\cdots k_n$（二进制小数乘法）
- 指数线性拆分：$e^{2\pi i\cdot j\cdot\sum_\ell k_\ell 2^{-\ell}} = \Pi_\ell e^{2\pi i\cdot j\cdot k_\ell\cdot 2^{-\ell}}$，每个因子只依赖单个 $k_\ell \in \{0,1\}$
- 单因子求值：$k_\ell = 0$ → 因子 $= 1$；$k_\ell = 1$ → 因子 $= e^{2\pi i\cdot j/2^\ell} = e^{2\pi i\cdot 0.j_{n-\ell+1}\cdots j_n}$
- 低 $\ell$ 位恒等式（教材练习 2 第 3 题）：$j = 2^\ell\cdot q + r$（$r$ = $j$ 的低 $\ell$ 位）→ $j/2^\ell = q + r/2^\ell$ → $e^{2\pi i\cdot j/2^\ell} = e^{2\pi i\cdot r/2^\ell}$，相位只依赖 $r$——因为 $j/2^\ell$ 的小数部分恰由低 $\ell$ 位决定
- 数值检验：$j = 6 = (110)_2$、$\ell = 2$ → $6/4 = 1.5$，小数部分 $0.5 = 0.10_2$，恰由低 2 位给出（$(10)_2/4 = 2/4 = 1/2$）✓
- 把 $\Pi_\ell$ 的因子逐比特归位、拆回张量积——推导完毕
- 结果框：看似搅在一起的 $N$ 项叠加，精确等于 $n$ 个单比特态的 $\otimes$；QFT 的复杂性全在相位、不在纠缠
类型definition-derivation（本课核心证明）