- 命题框（门定义）：$R_m = \mathrm{diag}(1, e^{2\pi i/2^m})$；受控执行：控制比特为 1 时给目标比特 $|1\rangle$ 分量乘 $e^{2\pi i/2^m}$（角度 $2\pi/2^m$：$R_2$ → $\pi/2$，$R_3$ → $\pi/4$）
- 相位组装推导（$n = 2$，对第 1 个比特，输入 $|j_1j_2\rangle$）：
- H 作用：$|j_1\rangle$ → $(|0\rangle + (-1)^{j_1}|1\rangle)/\sqrt{2} = (|0\rangle + e^{2\pi i\cdot 0.j_1}|1\rangle)/\sqrt{2}$（因 $0.j_1 = j_1/2$）
- 受控 $R_2$（控制 $j_2$）：$|1\rangle$ 分量 $\times e^{2\pi i\cdot j_2/4}$ → 相位 $= 2\pi\cdot(j_1/2 + j_2/4) = 2\pi\cdot 0.j_1j_2$ ✓ 恰为张量积式第一个因子
- 数值走查 $j = 01$：H 后相位 $0$；$j_2 = 1$ 触发受控 $R_2$ → 乘 $i$ → $(|0\rangle + i|1\rangle)/\sqrt{2}$——与第 11 页张量积第一因子一致
- 一般情形：$2\pi\cdot 0.j_\ell\cdots j_n = \sum_r (2\pi/2^{r-\ell+1})\cdot j_r$（$r = \ell\ldots n$），逐级用受控 $R_m$ 相加（教材练习 4 第 2 题的提示）
- 线路节奏行：第 1 比特 H + $(n-1)$ 个受控相位 → 第 2 比特 H + $(n-2)$ 个 → $\cdots$ → 末端 $\lfloor n/2\rfloor$ 个 SWAP 把比特顺序翻正
- 结果框：H + 受控相位 + SWAP 三件套精确实现张量积式（输出为比特倒序）
类型definition-derivation