第 9 课 · 量子傅里叶变换 · 模块二：算法主线

复杂度对决

  • 题面：数一数 QFT 线路的门，再与经典 FFT 比规模
  • 演算（逐行代入）：
    1. 门数公式：$n$（H 门）+ $n(n-1)/2$（受控相位门）+ $\lfloor n/2\rfloor$（SWAP）= $O(n^2)$
    2. 代入 $n = 3$：$3 + 3 + 1 = 7$ 门 ✓ 与第 9 页线路逐一对上（教材练习 3 第 1 题）
    3. 对比：经典 FFT 计算同样大小（$N = 2^n$）的变换需 $O(N \log N) = O(n\cdot 2^n)$ 个基本操作
    4. 大数锚点（AMBER）：$n = 100$ → $n^2 = 10^4$，而 $n\cdot 2^n \approx 2^{107}$——指数级差距
  • 进阶行（近似线路，教材练习 3 第 3 题）：丢弃角度 $< \varepsilon/n^2$ 的受控旋转（保留条件 $2\pi/2^m \ge \varepsilon/n^2 \iff m \le \log_2(2\pi n^2/\varepsilon)$）→ 门数降到 $O(n\cdot\log(n/\varepsilon))$
  • 结果框：就"实现这个酉变换"而言量子线路指数快；能否据此快速算傅里叶变换——第 12 页见分晓
类型worked-example + 原生图表