- 命题框（相位梯度恒等式，教材练习 5 第 3 题）：QFT_N[(1/√N)·Σⱼ e^{−2πi·js/N}|j⟩] = |s⟩——相位梯度被干涉收拢成单个基矢
- 推导步骤：
1. 代入定义并交换求和：输出中 |k⟩ 的振幅 = (1/N)·Σⱼ e^{2πi·j(k−s)/N}
2. k = s：每项 = 1，和 = N → 振幅 = 1
3. k ≠ s：公比 e^{2πi(k−s)/N} ≠ 1 的等比级数 → 和 = 0（与第 4 页酉性证明同一技巧）
- 数值演算（N = 4，s = 1）：输入 ½(|0⟩ − i|1⟩ − |2⟩ + i|3⟩) → QFT₄ → 四个振幅 (1, 0, 0, 0) → 输出 |1⟩ = |01⟩，一次测量确定读出
- 回踢方向卡：相位回踢（受控演化）产生的是 e^{+2πi·js/N} 型共轭梯度——第 11 页的 QFT₄|01⟩ = ½(|00⟩ + i|01⟩ − |10⟩ − i|11⟩) 正是它 → 因此相位估计末端用逆 QFT：QFT₄⁻¹[该态] = |01⟩
- 性质行：QFT 作用在计算基矢上时测量分布不变（|j⟩ → 各 |k⟩ 等概率 1/N 的均匀叠加）——一切作用都通过改变相对相位实现
- 结果框：先把相位回踢到相对相位，再用（逆）QFT 让不同相位干涉出可读模式——第 10 课 QPE = 受控幂 + 逆 QFT 的模式原型