QFT 的正确角色是干涉子程序，核心是相位梯度恒等式：$\mathrm{QFT}_N\left[\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_j e^{-2\pi i\cdot js/N}|j\rangle\right] = |s\rangle$。推导三步：代入定义并交换求和，输出中 $|k\rangle$ 的振幅为 $\frac{1}{N}\sum_j e^{2\pi i\cdot j(k-s)/N}$；$k = s$ 时每项为 $1$、和为 $N$、振幅为 $1$；$k \ne s$ 时是公比 $e^{2\pi i(k-s)/N} \ne 1$ 的等比级数，和为 $0$——与酉性证明同一技巧，仅 $|s\rangle$ 存活。数值演算（$N = 4$，$s = 1$）：输入 $\tfrac{1}{2}(|0\rangle - i|1\rangle - |2\rangle + i|3\rangle)$ 经 $\mathrm{QFT}_4$ 后四个振幅为 $(1, 0, 0, 0)$，输出 $|1\rangle = |01\rangle$，一次测量确定读出。注意回踢方向：受控演化相位回踢产生的是 $e^{+2\pi i\cdot js/N}$ 型共轭梯度，因此相位估计末端用逆 QFT 收拢。另一条性质：QFT 作用在计算基矢上时测量分布不变（$|j\rangle$ 变为各 $|k\rangle$ 等概率 $1/N$ 的均匀叠加）——它的一切作用都通过改变相对相位实现。