第一段：受控幂级联与相位回踢

• 命题框（相位回踢）：c-U·(|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |u⟩ = (1/√2)(|0⟩ + e^{2πiφ/N}|1⟩)|u⟩
• 推导步骤（编号行）：

1. 控制位 0 → 不作用；控制位 1 → U|u⟩ = e^{2πiφ/N}|u⟩——本征相位被"踢"到 |1⟩ 分量上

2. 第 j 位控制 U^{2^j}：贡献相位 e^{(2πiφ/N)·2^j·z_j}

3. 逐位相乘（n = 3 例）：e^{(2πiφ/N)z₀}·e^{(2πiφ/N)2z₁}·e^{(2πiφ/N)4z₂}

4. 二进制展开合并指数：2⁰z₀ + 2¹z₁ + ⋯ + 2^{n−1}z_{n−1} = z

5. 终态（记 ω = e^{2πi/N}）：(1/√N)Σ_{z=0}^{N−1} ω^{φz}|z⟩ ⊗ |u⟩

• 演算（n = 3、N = 8、φ = 3、z = 5 = 101₂）：指数 = 3·(2⁰·1 + 2¹·0 + 2²·1) = 3·5 = 15；由 ω⁸ = 1 得 ω^{15} = ω⁷
• 结果框：本征相位被编码为计数寄存器上的线性相位 ω^{φz}