- 命题框：F_N: |x⟩ ↦ (1/√N)Σ_{y=0}^{N−1} ω^{xy}|y⟩；矩阵元 (F_N)_{yx} = (1/√N)ω^{xy}（xy 是整数乘法，不是比特串内积）
- 推导步骤：
1. 关键恒等式（k ≢ 0 mod N）：Σ_{y=0}^{N−1} ω^{ky} = (ω^{kN}−1)/(ω^k−1) = 0——分子 ω^{kN} = e^{2πik} = 1 归零，分母 ω^k ≠ 1
2. 行内积：(1/N)Σ_y ω^{(x−x′)y} = δ_{xx′} → 各行正交归一 → F_N·F_N† = I
3. 对称性：ω^{xy} = ω^{yx} → F_N^T = F_N
4. iQFT：F_N† = (F_N^T) = F_N^——形式完全相同，把 ω 换成 ω^{−1}
- 演算 1（N = 2）：ω = e^{iπ} = −1 → F₂ = (1/√2)[[1, 1], [1, −1]] = H——QFT 退化为 Hadamard 门
- 演算 2（N = 4、k = 2）：ω = i → Σ_{y=0}^{3} i^{2y} = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 ✓
- 结果框：级联终态 (1/√N)Σ_z ω^{φz}|z⟩ 对照定义恰是 F_N|φ⟩ → 解码只需 F_N^*