QFT 定义为 $F_N: |x\rangle \mapsto (1/\sqrt{N})\sum_{y=0}^{N-1}\omega^{xy}|y\rangle$，矩阵元 $(F_N)_{yx} = (1/\sqrt{N})\omega^{xy}$——注意 $xy$ 是通常的整数乘法，不是比特串内积。幺正性的关键是几何级数恒等式：$k \not\equiv 0 \bmod N$ 时 $\sum_{y=0}^{N-1}\omega^{ky} = (\omega^{kN}-1)/(\omega^k-1) = 0$，分子 $\omega^{kN} = e^{2\pi ik} = 1$ 归零而分母 $\omega^k \ne 1$；据此行内积 $(1/N)\sum_y \omega^{(x-x')y} = \delta_{xx'}$，各行正交归一，$F_N F_N^\dagger = I$。由对称性 $\omega^{xy} = \omega^{yx}$ 得 $F_N^T = F_N$，于是 iQFT $= F_N^\dagger = (F_N^T)^* = F_N^*$：形式与 QFT 完全相同，只需把 $\omega$ 换成 $\omega^{-1}$。两个校验：$N = 2$ 时 $\omega = e^{i\pi} = -1$，$F_2 = (1/\sqrt{2})\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = H$，QFT 退化为 Hadamard 门；$N = 4$、$k = 2$ 时 $\omega = i$，$\sum_{y=0}^{3} i^{2y} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$。级联终态 $(1/\sqrt{N})\sum_z \omega^{\phi z}|z\rangle$ 对照定义恰是 $F_N|\phi\rangle$，因此解码只需再乘一个 $F_N^*$。