非整数情形：4/π² 成功下界

• 命题框（闭式）：p_y = (1/N²)·sin²(π(φ−y)) / sin²(π(φ−y)/N)（y = φ 处取极限值 1，随 |φ−y| 增大而衰减）
• 下界推导步骤（记 δ = φ−y，最近整数 |δ| ≤ 1/2）：

1. 恒等变形：p_y = [sin(πδ)/(πδ)]²·[(πδ/N)/sin(πδ/N)]²

2. sin t/t 在 (0, π] 单调递减 + |δ| ≤ 1/2 → 第一因子 ≥ sin(π/2)/(π/2) = 2/π

3. |sin t| ≤ |t| → 第二因子 ≥ 1

4. 汇总：p_nearest ≥ (2/π)² = 4/π² ≈ 0.405

• 演算（φ = 3.5、N = 4）：

1. y = 3：δ = 1/2 → sin²(π/2) = 1；sin²(π/8) = (2−√2)/4 ≈ 0.1464

2. p₃ = (1/16)·1/0.1464 = (2+√2)/8 ≈ 0.427

3. y = 4：δ = −1/2，闭式为偶函数 → p₄ = p₃ ≈ 0.427

4. 验证：0.427 ≥ 4/π² ≈ 0.405 ✓

• 结果框：测量以 ≥ 4/π² 的概率返回最接近 φ 的整数；增加若干冗余计数比特可把成功概率任意提高到接近 1
• 思考题条：配对证明——ω^{N/2} = −1，第 x 项与第 x+N/2 项配对；φ−y 为奇数时相位差 π 直接相消，偶数时先提公因子化归