现实中的 $\phi$ 几乎不会恰好是整数，同样的代数给出闭式
$$p_y = \frac{1}{N^2}\cdot\frac{\sin^2(\pi(\phi-y))}{\sin^2(\pi(\phi-y)/N)}$$
它在 $y = \phi$ 处取极限值 1，随 $|\phi - y|$ 增大而衰减，概率集中在 $\phi$ 附近。记 $\delta = \phi - y$，最近整数对应 $|\delta| \le 1/2$；把 $p_y$ 变形为 $[\sin(\pi\delta)/(\pi\delta)]^2\cdot[(\pi\delta/N)/\sin(\pi\delta/N)]^2$，第一因子用 $\sin t/t$ 在 $(0, \pi]$ 单调递减卡住 $\ge 2/\pi$，第二因子用 $|\sin t| \le |t|$ 卡住 $\ge 1$，汇总得 $p_{\mathrm{nearest}} \ge (2/\pi)^2 = 4/\pi^2 \approx 0.405$。演算（$\phi = 3.5$、$N = 4$）：$y = 3$ 时 $\delta = 1/2$，$\sin^2(\pi/2) = 1$，$\sin^2(\pi/8) = (2-\sqrt{2})/4 \approx 0.1464$，故 $p_3 = (1/16)\cdot 1/0.1464 = (2+\sqrt{2})/8 \approx 0.427$；$y = 4$ 时 $\delta = -1/2$，闭式为偶函数，$p_4 = p_3$，两者均不低于 $4/\pi^2$。补救办法是冗余：增加若干计数比特可把成功概率任意提高到接近 1。思考题：利用 $\omega^{N/2} = -1$ 把第 $x$ 项与第 $x + N/2$ 项配对重证相消——$\phi - y$ 为奇数时两项相位差 $\pi$ 直接对消，偶数时先提公因子化归。