- 命题框：e^{iAt}|uᵢ⟩ = e^{iλᵢt}|uᵢ⟩——U = e^{iAt} 与 A 共享本征态
- 推导步骤：
1. A|uᵢ⟩ = λᵢ|uᵢ⟩（A 厄密 ⇒ λᵢ ∈ ℝ、本征基正交归一）；归纳得 A^m|uᵢ⟩ = λᵢ^m|uᵢ⟩
2. 矩阵指数幂级数逐项作用：e^{iAt}|uᵢ⟩ = Σ_m (iλᵢt)^m/m!·|uᵢ⟩ = e^{iλᵢt}|uᵢ⟩
3. 相位估计从 U 读出的正是 λᵢt mod 2π
4. 本征基下求逆：A⁻¹|b⟩ = Σᵢ (βᵢ/λᵢ)|uᵢ⟩（βᵢ = ⟨uᵢ|b⟩）——A⁻¹ 就是把每个分量乘 1/λᵢ
- 目标框：解 Ax = b → 制备 |x⟩ = A⁻¹|b⟩ / ‖A⁻¹|b⟩‖₂（量子态必须归一化——算法只给解的方向）
- 四步流程卡（节点各标公式）：|b⟩ = Σᵢβᵢ|uᵢ⟩ → 相位估计得 Σᵢβᵢ|λᵢt⟩|uᵢ⟩ → 受控旋转乘 ∝ 1/λᵢ 的因子 → 逆相位估计清空寄存器 + 测量筛选成功分支
- 去向条：线路、成功率（条件数 κ）、精度与复杂度在第 21 课与第 6 章 HHL 教程完整展开