第 10 课 · 相位估计 · 模块二：算法主线
应用 II：HHL 预告——相位估计实现矩阵求逆
- 命题框：$e^{iAt}|u_i\rangle = e^{i\lambda_i t}|u_i\rangle$——$U = e^{iAt}$ 与 $A$ 共享本征态
- 推导步骤：
- $A|u_i\rangle = \lambda_i|u_i\rangle$（$A$ 厄密 $\Rightarrow$ $\lambda_i \in \mathbb{R}$、本征基正交归一）；归纳得 $A^m|u_i\rangle = \lambda_i^m|u_i\rangle$
- 矩阵指数幂级数逐项作用：$e^{iAt}|u_i\rangle = \sum_m (i\lambda_i t)^m/m!\cdot|u_i\rangle = e^{i\lambda_i t}|u_i\rangle$
- 相位估计从 $U$ 读出的正是 $\lambda_i t \bmod 2\pi$
- 本征基下求逆：$A^{-1}|b\rangle = \sum_i (\beta_i/\lambda_i)|u_i\rangle$（$\beta_i = \langle u_i|b\rangle$）——$A^{-1}$ 就是把每个分量乘 $1/\lambda_i$
- 目标框：解 $Ax = b$ → 制备 $|x\rangle = A^{-1}|b\rangle / \lVert A^{-1}|b\rangle\rVert_2$（量子态必须归一化——算法只给解的方向）
- 四步流程卡（节点各标公式）：$|b\rangle = \sum_i\beta_i|u_i\rangle$ → 相位估计得 $\sum_i\beta_i|\lambda_i t\rangle|u_i\rangle$ → 受控旋转乘 $\propto 1/\lambda_i$ 的因子 → 逆相位估计清空寄存器 + 测量筛选成功分支
- 去向条：线路、成功率（条件数 $\kappa$）、精度与复杂度在第 21 课与第 6 章 HHL 教程完整展开
类型outlook（definition-derivation + 流程）