第 10 课 · 相位估计 · 模块二：算法主线

小结与作业

本课公式清单（编号，青色编号节点，两列网格）：
1. 相位回踢：$c\text{-}U\cdot(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2} \otimes |u\rangle = (1/\sqrt{2})(|0\rangle + e^{2\pi i\phi/N}|1\rangle)|u\rangle$
2. 级联终态：$(1/\sqrt{N})\sum_z \omega^{\phi z}|z\rangle|u\rangle$（$\omega = e^{2\pi i/N}$；二进制合并 $2^0 z_0+\cdots+2^{n-1}z_{n-1} = z$）
3. QFT/iQFT：$F_N$: $|x\rangle$ ↦ $(1/\sqrt{N})\sum_y \omega^{xy}|y\rangle$；iQFT $= F_N^*$（$\omega$ → $\omega^{-1}$）
4. 几何级数恒等式：$\sum_y \omega^{ky} = 0$（$k \not\equiv 0 \bmod N$）
5. 读出概率：$p_y = (1/N^2)|\sum_x \omega^{x(\phi-y)}|^2$ → $\phi$ 为整数时 $p_{y=\phi} = 1$
6. 非整数闭式：$p_y = (1/N^2)\cdot\sin^2(\pi(\phi-y))/\sin^2(\pi(\phi-y)/N) \ge 4/\pi^2 \approx 0.405$
7. 访问复杂度：$O(\log 1/\varepsilon)$（独立黑盒）vs $O(1/\varepsilon)$（$\sum_j 2^j = N-1$）
8. 旋转矩阵：$G = [[\cos\theta, \sin\theta], [-\sin\theta, \cos\theta]]$，$\cos\theta = 1-2p$，$\theta = 2\alpha$，$n \le \pi/(4\sqrt{p})$
9. 本征分解：$\lambda = e^{\pm i\theta}$，$|u_{1,2}\rangle = (|g\rangle \pm i|b\rangle)/\sqrt{2}$
10. 振幅估计：$|C_1|^2 = |C_2|^2 = 1/2$，$p = \sin^2(\theta/2)$
11. HHL：$e^{iAt}|u_i\rangle = e^{i\lambda_i t}|u_i\rangle$，$A^{-1}|b\rangle = \sum_i(\beta_i/\lambda_i)|u_i\rangle$
作业卡（真实题，带数值演算优先）：
- 必做 1：练习 1 第 2 题——$n = 3$、$N = 8$ 写出级联终态并用二进制展开说明指数合并（呼应第 5 页演算）
- 必做 2（重点，琥珀标记）：练习 3 第 2 题——$\phi = 3.5$、$N = 4$ 用闭式算 $p_3$、$p_4$ 并验证 $\ge 4/\pi^2$（呼应第 8 页演算）
- 必做 3：练习 5 第 1 题——$p = 1/4$ 求 $\alpha$、$\theta$ 并写出 $G$ 矩阵（呼应第 10 页演算）
- 加分：练习 8 第 2 题——证明 $A^{-1}|b\rangle = \sum_i(\beta_i/\lambda_i)|u_i\rangle$ 并列出 HHL 四步；另附正文两道思考题（配对证明、精度与 $\sqrt{p}$）

类型summary-homework（公式清单）