- 命题框：恒等式 $H^{\otimes n}|x\rangle = (1/\sqrt{2^n})\cdot\sum_z(-1)^{x\cdot z}|z\rangle$
- 推导步骤（逐行，等号对齐感）：
- 对孪生态作用 $H^{\otimes n}$：$(1/\sqrt{2})\cdot(H^{\otimes n}|x_u\rangle + H^{\otimes n}|x_u\oplus s\rangle)$
- 代入恒等式合并：$(-1)^{(x_u\oplus s)\cdot z} = (-1)^{x_u\cdot z}\cdot(-1)^{s\cdot z}$ → $= (1/\sqrt{2^{n+1}})\cdot\sum_z(-1)^{x_u\cdot z}\cdot[1+(-1)^{s\cdot z}]|z\rangle$
- 干涉因子两分：$s\cdot z=1$ → $1+(-1) = 0$（两项相消）；$s\cdot z=0$ → $1+1 = 2$（相长）
- $P(z) = |1+(-1)^{s\cdot z}|^2/2^{n+1}$：$s\cdot z=1$ → 0；$s\cdot z=0$ → $4/2^{n+1} = 1/2^{n-1}$
- 均匀性验证：$s^\perp = \{z : z\cdot s=0\}$ 恰含 $2^{n-1}$ 个元素 → 总概率 $2^{n-1}\times 1/2^{n-1} = 1$ ✓
- 演算（教材练习 4 第 1 题，$n=3$、$s=111$）：
- $z=011$：$s\cdot z = 0+1+1 = 0$（mod 2）→ $P = 1/2^{n-1} = 1/4$
- $z=001$：$s\cdot z = 0+0+1 = 1$ → 干涉相消，$P = 0$
- 可测到的 $z = \{000, 011, 101, 110\}$（偶重量），各 $1/4$
- 结果框：每次运行免费得到一条随机线性方程 $z\cdot s \equiv 0 \pmod{2}$；顺便测掉输出寄存器不影响分布
类型definition-derivation（重点页，占满——本课上半场高潮）