两个反射算子与关键内积

• 命题框：U_O = 2|x₀⟩⟨x₀| − I（保持目标、翻转其余）；U_S = H⊗ⁿ(2|0⟩⟨0| − I)H⊗ⁿ = 2|s⟩⟨s| − I，其中 |s⟩ = (1/√N)Σₓ|x⟩
• 推导步骤（编号行）：

1. U_S 的第二等号：H⊗ⁿ|0⟩ = |s⟩ 且 H⊗ⁿH⊗ⁿ = I → H⊗ⁿ(2|0⟩⟨0|)H⊗ⁿ = 2|s⟩⟨s|，而 H⊗ⁿ·I·H⊗ⁿ = I

2. 关键内积：⟨x₀|s⟩ = (1/√N)·Σₓ⟨x₀|x⟩ = 1/√N（|s⟩ 分量全实，故 ⟨x₀|s⟩ = ⟨s|x₀⟩）

3. 空间分解：Σₓ|x⟩ = |x₀⟩ + Σₓ≠x₀|x⟩，第二项范数 √(N−1)

4. 代入得分解式：|s⟩ = (1/√N)|x₀⟩ + √((N−1)/N)·|x₀⊥⟩

5. 数值演算 N = 4：目标权重 1/√4 = 1/2，非目标权重 √(3/4) = √3/2 ≈ 0.866

6. 约定注记：与"翻转目标相位"约定 I − 2|x₀⟩⟨x₀| 只差整体符号 −1，不影响任何测量概率

• 结果框：⟨x₀|s⟩ = 1/√N 是全课推导的出发点；算法 = 从 |s⟩ 出发重复 G = U_S U_O 约 (π/4)√N 次后测量