设 $\{x_0, x_1\}$ 线性无关。若 $Ax_0 = u_{00}x_0 + u_{10}x_1$ 且 $Ax_1 = u_{01}x_0 + u_{11}x_1$，则 $\mathrm{span}\{x_0, x_1\}$ 是 $A$ 的不变子空间，$A$ 限制其上是一个 $2\times 2$ 矩阵，第 $j$ 列是第 $j$ 个基矢的像的系数。数字例（教材练习 2）：$Ax_0 = 2x_0 + x_1$、$Ax_1 = x_0 - x_1$，第一列 $(2, 1)$、第二列 $(1, -1)$，得 $A = \begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix}$，子空间不变。三条性质：子空间对线性组合封闭，故 $A$ 的幂与多项式都保持它，"反复迭代同一个 $G$"因此合法；特征值由 $2\times 2$ 特征方程求得，换基是相似变换、特征值不变；生成元不正交时先做 Gram–Schmidt 正交化——幺正算子只有在正交归一基下的矩阵才仍幺正，才能识别为旋转或反射。价值在降维：初态落在不变子空间内，就不必跟踪 $N$ 维，只需分析一个 $2\times 2$ 矩阵。