公共不变子空间与正交归一基

• 命题框（Lemma 1–2）：span{|x₀⟩, |s⟩} 是 U_O 与 U_S 的公共不变子空间；但 ⟨x₀|s⟩ = 1/√N ≠ 0，生成元不正交，需 Gram–Schmidt 构造正交基
• 推导步骤（逐行）：

1. U_O|x₀⟩ = 2|x₀⟩⟨x₀|x₀⟩ − |x₀⟩ = |x₀⟩；同理 U_S|s⟩ = |s⟩（生成元映回自身）

2. U_O|s⟩ = 2|x₀⟩⟨x₀|s⟩ − |s⟩ = (2/√N)|x₀⟩ − |s⟩ ∈ 平面；同理 U_S|x₀⟩ = (2/√N)|s⟩ − |x₀⟩ ∈ 平面

3. 构造：|x₀⊥⟩ = (√N·|s⟩ − |x₀⟩)/√(N−1)；正交性演算 ⟨x₀|(√N|s⟩ − |x₀⟩) = √N·(1/√N) − 1 = 0 ✓

4. 范数演算：‖√N|s⟩ − |x₀⟩‖² = N − 1 → |x₀⊥⟩ 归一 ✓

5. 反解分解式：|s⟩ = sin θ·|x₀⟩ + cos θ·|x₀⊥⟩，其中 ⟨s|x₀⟩ = 1/√N = sin θ、⟨s|x₀⊥⟩ = √((N−1)/N) = cos θ——θ = arcsin(1/√N) 的来历

6. 正交补（N−2 维）：⟨x₀|v⟩ = ⟨s|v⟩ = 0 → U_O|v⟩ = −|v⟩、U_S|v⟩ = −|v⟩ → G|v⟩ = (+1)|v⟩：其余维度从头到尾不动

• 结果框：初态 |s⟩ 完全落在平面内且演化永不离开——N 维问题约化为 2×2 矩阵