在正交归一基 $\{|x_0\rangle, |x_0^\perp\rangle\}$ 下逐列计算：$U_O$ 一侧 $U_O|x_0\rangle = |x_0\rangle$、$U_O|x_0^\perp\rangle = -|x_0^\perp\rangle$；$U_S$ 一侧由分解式与两个内积算出 $U_S|x_0\rangle = (2/N - 1)|x_0\rangle + (2\sqrt{N-1}/N)|x_0^\perp\rangle$、$U_S|x_0^\perp\rangle = (2\sqrt{N-1}/N)|x_0\rangle + (1 - 2/N)|x_0^\perp\rangle$。按"先 $U_O$ 后 $U_S$"合成，像的系数依次写成矩阵第 1、2 列：
$$G = U_S U_O = \begin{bmatrix}-(1-2/N) & -2\sqrt{N-1}/N\\ 2\sqrt{N-1}/N & -(1-2/N)\end{bmatrix}$$
旋转形状由 $(1-2/N)^2 + (2\sqrt{N-1}/N)^2 = 1$ 验证；倍角公式 $\cos 2\theta = 1 - 2/N$、$\sin 2\theta = 2\sqrt{N-1}/N$ 把它识别为 $G = R(\pi - 2\theta) = -R(-2\theta)$，与 QCQI §6.1.2 式 6.13–6.14 一致。数值演算 $N = 4$：$G = \begin{bmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2 & -1/2\end{bmatrix} = R(120^\circ)$，与 $\theta = 30^\circ$ 吻合。几何本质：$U_O$、$U_S$ 是关于 $|x_0\rangle$、$|s\rangle$ 两轴的反射，两轴夹角 $\phi = \pi/2 - \theta$（$\cos\phi = 1/\sqrt{N}$），反射复合即旋转 $2\phi = \pi - 2\theta$；角中的 $\pi$ 对应全局相位 $-1$，测量不可观测，每次迭代真正有效的是把角度推进 $2\theta$。