Grover 迭代 = 平面旋转（本课高潮一）

• 命题框（Theorem 4）：正交归一基 {|x₀⟩, |x₀⊥⟩} 下 G = U_S U_O = [−(1−2/N) −2√(N−1)/N ; 2√(N−1)/N −(1−2/N)] = R(π−2θ)，θ = arcsin(1/√N)
• 推导步骤（逐行）：

1. U_S 的作用（代入分解式与两个内积）：U_S|x₀⟩ = (2/N − 1)|x₀⟩ + (2√(N−1)/N)|x₀⊥⟩；U_S|x₀⊥⟩ = (2√(N−1)/N)|x₀⟩ + (1 − 2/N)|x₀⊥⟩

2. U_O 的作用：U_O|x₀⟩ = |x₀⟩；⟨x₀|x₀⊥⟩ = 0 → U_O|x₀⊥⟩ = −|x₀⊥⟩

3. 合成（先 U_O 后 U_S），两个像的系数依次写成矩阵第 1、2 列 → 命题框矩阵

4. 旋转形状验证：(1−2/N)² + (2√(N−1)/N)² = 1 − 4/N + 4/N² + 4(N−1)/N² = 1 ✓

5. 倍角公式识别：cos 2θ = 1 − 2sin²θ = 1 − 2/N；sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2√(N−1)/N → G = [−cos 2θ −sin 2θ ; sin 2θ −cos 2θ] = R(π−2θ)

6. 数值演算 N = 4：1 − 2/4 = 1/2、2√3/4 = √3/2 ≈ 0.866 → G = [−1/2 −√3/2 ; √3/2 −1/2] = R(120°)，与 θ = 30° 一致 ✓

• 结果框：G = R(π−2θ) = −R(−2θ)，每迭代一次向目标推进 2θ；几何本质：U_O、U_S 是关于 |x₀⟩、|s⟩ 两轴的反射，两轴夹角 φ 满足 cos φ = 1/√N（φ = π/2 − θ），反射复合 = 旋转 2φ = π − 2θ（与 QCQI §6.1.2 式 6.13–6.14 一致）