成功概率的精确公式

• 命题框（Theorem 5）：从 |s⟩ 出发迭代 T 次后测得 x₀ 的概率精确等于 P_T = sin²((2T+1)θ)，θ = arcsin(1/√N)
• 推导步骤（逐行，和角公式展开）：

1. 记 |ψ(α)⟩ = sin α·|x₀⟩ + cos α·|x₀⊥⟩；由第 6 页分解式，初态 |s⟩ = |ψ(θ)⟩

2. G = −R(−2θ) 作用于坐标 (sin α, cos α)ᵀ：第一分量 = −cos 2θ·sin α − sin 2θ·cos α = −sin(α+2θ)

3. 第二分量 = sin 2θ·sin α − cos 2θ·cos α = −cos(α+2θ)

4. 故 G|ψ(α)⟩ = −|ψ(α+2θ)⟩：每迭代推进 2θ，全局相位 −1 测量不可观测

5. 迭代 T 次：Gᵀ|s⟩ = (−1)ᵀ·[sin((2T+1)θ)·|x₀⟩ + cos((2T+1)θ)·|x₀⊥⟩] → 目标振幅 = sin((2T+1)θ)

• 小角度演算行：(2T+1)θ ≪ 1 时 sin((2T+1)θ) ≈ (2T+1)/√N——最初若干次迭代振幅线性增长，每次约 +2/√N；代入 N = 10⁶：每次 +0.002
• 结果框：P_T = sin²((2T+1)θ)——精确等式，无近似