第 12 课 · Grover 搜索——几何、最优迭代与下界 · 模块二：算法主线

最优迭代次数：让 $(2T+1)\theta$ 逼近 $\pi/2$

  • 命题框（Corollary 6）：取 $T = \pi/(4\theta) - 1/2 \approx (\pi/4)\sqrt{N}$（实际取最接近的整数），则 $P_T \ge 1 - 1/N$
  • 推导步骤：
    1. 最大化 $\sin^2((2T+1)\theta)$：令 $(2T+1)\theta \to \pi/2$，解出 $T = (\pi/2 - \theta)/(2\theta) = \pi/(4\theta) - 1/2$
    2. 小角度近似：$\theta = \arcsin(1/\sqrt{N}) \approx 1/\sqrt{N}$ → $T \approx (\pi/4)\sqrt{N}$
    3. 取整误差：$T$ 只能取整数、角度步长 $2\theta$ → 取最近整数保证 $|(2T+1)\theta - \pi/2| \le \theta$
    4. 下界：$P_T \ge \sin^2(\pi/2 - \theta) = \cos^2\theta = 1 - 1/N$
  • 数值演算卡（结果用 AMBER 大字）：
    • $N = 1024$：$\theta \approx 1/32$ → $T = (\pi/4)\times 32 \approx 25.1$ → 取 25；成功率 $\ge 1 - 1/1024 \approx 99.9\%$
    • $N = 10^6$：$T \approx 785$ 次（第 3 页大数字的来历）
  • 过旋转警告行：$T' = 2T$ 时 $(4T+1)\theta = 2(2T+1)\theta - \theta \approx \pi - \theta$ → $P \approx \sin^2\theta = 1/N$；代入 $N = 1024$、$T' = 50$：成功概率回落到 0.001 量级——运行前需（近似）知道 $N$
  • 结果框：$O(\sqrt{N})$ 次查询、成功率 $\ge 1 - 1/N$
类型definition-derivation（含双数值演算）