振幅放大的理论（本课高潮二）

• 命题框（设定）：U|0⟩|0⟩ = |ψ⟩ = √p·|good⟩|0⟩ + √(1−p)·|bad⟩|1⟩ = sin ω·|g⟩ + cos ω·|b⟩，ω = arcsin√p；实现的是 |0,0⟩ ↦ |good⟩|0⟩（以 U 为子过程，非 |ψ⟩ ↦ |good⟩）
• 推导步骤（逐行）：

1. 两个反射：U_S = 2|ψ⟩⟨ψ| − I = U(2|0,0⟩⟨0,0| − I)U†（会 U 与 U† 即可实现）；U_O = I − 2Π_g（与 Grover 的 U_O 只差整体符号）

2. 算像：U_S|g⟩ = 2√p·|ψ⟩ − |g⟩ = (2p−1)|g⟩ + 2√(p(1−p))·|b⟩；U_S|b⟩ = 2√(1−p)·|ψ⟩ − |b⟩ = 2√(p(1−p))·|g⟩ + (1−2p)·|b⟩

3. 矩阵：U_O = [−1 0 ; 0 1]；U_S = [2p−1 2√(p(1−p)) ; 2√(p(1−p)) 1−2p]

4. 合成（右乘 diag(−1, 1) = 第一列取反）：Q = U_S U_O = [1−2p 2√(p(1−p)) ; −2√(p(1−p)) 1−2p]

5. 旋转验证：(1−2p)² + 4p(1−p) = 1 − 4p + 4p² + 4p − 4p² = 1 ✓；倍角公式 cos 2ω = 1 − 2p、sin 2ω = 2√(p(1−p)) → Q = R(−2ω)

6. 数值演算 p = ¼：1 − 2p = ½、2√(p(1−p)) = 2·√(3/16) = √3/2 → Q = R(−60°)，ω = arcsin(½) = 30° ✓；小 p 演算 p = 0.01：ω ≈ √p = 0.1 rad，每步转 2√p ≈ 0.2 rad

• 结果框：Q|φ(α)⟩ = |φ(α+2ω)⟩（|φ(α)⟩ = sin α·|g⟩ + cos α·|b⟩）；n = π/(4ω) − ½ ≈ π/(4√p) → 成功率 ≥ 1−p；重复 O(log(1/δ)) 次提升到 1−δ；每次迭代需一次 U 与一次 U†；Grover = p = 1/N、ω = θ 的特例