迭代公式与最优迭代次数

• 命题框：Q^k|ψ⟩ = sin((2k+1)θ)|g⟩ + cos((2k+1)θ)|b⟩
• 推导步骤：

1. R(−2θ)·(sinα, cosα)ᵀ = (cos2θ·sinα + sin2θ·cosα, −sin2θ·sinα + cos2θ·cosα)ᵀ = (sin(α+2θ), cos(α+2θ))ᵀ（和角公式合并）

2. 初态 α = θ，每迭代一次 α ↦ α+2θ，归纳得振荡公式（幅角 θ → 3θ → 5θ → …）

3. 令幅角抵达 π/2：k ≈ (π/2−θ)/(2θ) = π/(4θ) − 1/2 ≈ π/(4√a)（用 θ = arcsin√a ≈ √a）

• 演算（Grover，N = 1024 = 2¹⁰）：θ = arcsin(1/32) ≈ 0.0312 rad → T ≈ π/(4×0.0312) − 1/2 ≈ 24.6 → 取 25 次查询；成功率下界 1 − 1/1024 ≈ 99.9%
• 结果框：代入 a = M/N 得 O(√(N/M))；推导对任意初态线路 A、任意"好"判据成立