第 13 课 · 振幅放大与振幅估计——从 Grover 到通用二次加速与最优性 · 模块二:算法主线

成功率:围绕 1 的振荡

  • 命题框:$p_k = \sin^2((2k+1)\theta)$
  • 推导(下界三行):
    1. 取最近整数 $k^*$:舍入偏差 $|(2k^*+1)\theta - \pi/2| \le \theta$
    2. $p_{k^*} = \sin^2(\pi/2 \pm \delta) = \cos^2\delta \ge \cos^2\theta = 1-a$($\delta \le \theta$)
    3. $a \le 1/4$ → $p_{k^*} \ge 3/4$;Grover 的 $a = M/N \ll 1$ → 成功率任意接近 1
  • 演算一($a = 1/4$,$\theta = \pi/6$):$p_0 = \sin^2(\pi/6) = 1/4$;$k^* = 1$:$p_1 = \sin^2(\pi/2) = 1 \ge 3/4$ ✓;过迭代 $k = 2$:$p_2 = \sin^2(5\pi/6) = 1/4$(转过头回落)
  • 演算二(逐振幅验证,$N = 4$ 即 $a = 1/4$):初幅 $(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)$ → $S_f$ 翻好分量得 $(1/2, -1/2, 1/2, 1/2)$,平均 $\bar{a} = 1/4$ → 关于平均翻转 $a_x \mapsto 2\bar{a}-a_x$($= -S_\psi$,差全局相位)得 $(0, 1, 0, 0)$:一次迭代必中目标
  • 结果框:$p_{k^*} \ge 1-a$;要精确成功可把相位 $-1$ 换成一般相位 $\phi$("定点击穿",一句带过)
类型worked-example + 推导