第 13 课 · 振幅放大与振幅估计——从 Grover 到通用二次加速与最优性 · 模块二：算法主线

通用二次加速：白得的礼物

  • 命题框：经典"制备 $A|0\rangle$ → 测量 → 检验"期望 $1/a$ 次尝试；量子振幅放大 $O(1/\sqrt{a})$ 次 $A$ 与预言机调用
  • 演算（逐行代入）：
    1. $a = 10^{-2}$：经典 $1/a = 100$ 次 vs 量子 $\pi/(4\times 0.1) \approx 7.9 \approx 8$ 次
    2. $a = 10^{-4}$：经典 $10^4$ 次 vs 量子 $\pi/(4\times 0.01) \approx 78.5 \approx 80$ 次——加速约 128 倍
    3. 规律：$a$ 每小一个数量级，经典 $\times 100$、量子只 $\times 10$——平方关系
  • 例子卡（三行，各带一式）：$A$ = 均匀随机猜测 + 验证解 → 回到 Grover（$a = 1/N$）；$A$ = 启发式采样线路 → 组合优化问题的量子加速；"好" = 业务指标指示函数 → 通向振幅估计
  • 结果框：任何"生成-检验"式随机算法都白得平方级加速
类型worked-example（复杂度演算）