第 13 课 · 振幅放大与振幅估计——从 Grover 到通用二次加速与最优性 · 模块二：算法主线

振幅估计：把 QPE 套在 $Q$ 上

  • 命题框：$Q = R(-2\theta)$ 的本征值为共轭对 $e^{\pm i2\theta}$ → 本征相位 $\pm 2\theta$，而 $\sin\theta = \sqrt{a}$
  • 推导步骤：
    1. 第 5 页已证 $Q = R(-2\theta)$ → 本征值 $e^{-i2\theta}$、$e^{+i2\theta}$：$\theta$ 藏在 $Q$ 的本征相位里
    2. QPE（第 10 课）用 $m$ 个相位比特读数：$\tilde{y} \approx (2\theta/2\pi)\cdot M_{\mathrm{QPE}}$，其中 $M_{\mathrm{QPE}} = 2^m$
    3. 反解 $\hat{\theta} = \pi\cdot\tilde{y}/M_{\mathrm{QPE}}$，换回概率：$\hat{a} = \sin^2(\pi\cdot\tilde{y}/M_{\mathrm{QPE}})$
    4. 精度传递：相位误差 $\le 2\pi/2^m$ → $|\hat{a} - a| = O(2\pi/2^m)$ 量级
  • 演算（$\varepsilon = 10^{-3}$）：要 $|\hat{a} - a| \lesssim 10^{-3}$ 需 $M_{\mathrm{QPE}} = O(1/\varepsilon)$ → 取 $m = 10$ 个相位比特（$M_{\mathrm{QPE}} = 2^{10} = 1024 \approx 10^3$ 次受控-$Q$ 查询）
  • 结果框：$\hat{a} = \sin^2(\pi\cdot\tilde{y}/M_{\mathrm{QPE}})$——"估计概率" = "估计相位" + $\sin^2$ 映射
类型definition-derivation（本课核心推导二）