归约的第一步随机选 $a$（$1 < a < N$ 且 $\gcd(a, N) = 1$）：若 $\gcd(a, N) > 1$，它本身就是因子、提前结束；否则 $a$ 模 $N$ 的序列必转回 1，其最小正指数 $r$ 满足 $a^r \equiv 1 \pmod{N}$，称为 $a$ 模 $N$ 的阶。当 $r$ 为偶数时由平方差 $a^r - 1 = (a^{r/2}-1)(a^{r/2}+1)$，$N$ 整除两因子之积；若又有 $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod{N}$，则 $\gcd(a^{r/2}-1, N)$ 与 $\gcd(a^{r/2}+1, N)$ 各捕获 $N$ 的一部分素因子，成为非平凡因子（严格证明见第 6 页）。演算 $N = 15$、$a = 7$：$7^4 = 2401 = 15\times 160 + 1 \equiv 1$，故 $r = 4$；又 $7^2 = 49 \equiv 4 \not\equiv -1 \pmod{15}$，两条件全满足。随机选 $a$ 单次成功概率至少 $1/2$，不满足就换一个再猜；量子部分的全部任务是高效求阶，结构一句话概括为"相位估计 + 连分数"。