核心思想：分解归约为求阶

• 命题框：阶的定义——取 a（1 < a < N，gcd(a, N) = 1），最小正整数 r 使 a^r ≡ 1 (mod N)
• 推导步骤：

1. 平方差：a^r − 1 = (a^{r/2} − 1)(a^{r/2} + 1)（r 为偶数时 r/2 为整数）

2. 由阶定义 N ∣ a^r − 1 → N 整除两因子之积；N 为奇数时每个奇素幂只能整体落入一侧（第 6 页四步严格化）

3. 两条件 r 偶 且 a^{r/2} ≢ −1 (mod N) 成立 → gcd(a^{r/2} − 1, N) 与 gcd(a^{r/2} + 1, N) 均为非平凡因子

4. 演算（N = 15, a = 7）：7⁴ = 2401 = 15×160 + 1 ≡ 1 → r = 4；7² = 49 ≡ 4 ≢ −1 (mod 15) → 条件全满足

• 结果框：因数分解 → 求阶 → 两次 gcd；随机 a 单次成功概率 ≥ ½；量子部分 = 相位估计 + 连分数