引理条件：$N$ 为奇合数、$\gcd(a, N) = 1$、$r$ 为 $a$ 模 $N$ 的阶；若 $r$ 为偶数且 $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod{N}$，则两个 gcd 都是 $N$ 的非平凡因子。证明四步，每步一行：
- 整除乘积：$N \mid (a^r - 1) = (a^{r/2}-1)(a^{r/2}+1)$，由阶定义加平方差
- 几乎互素：两因子之差为 2，故 $\gcd(a^{r/2}-1, a^{r/2}+1) \mid 2$；$N$ 为奇数，其素因子不能同时整除两因子
- 素幂划分：每个素幂 $p^e$ 只能整体落入一侧，$N = N_-\cdot N_+$，其中 $N_\pm = \gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ 且 $\gcd(N_-, N_+) = 1$
- 非平凡性：$N_- = N$ 将迫使 $a^{r/2} \equiv 1$，与 $r$ 的最小性矛盾（$0 < r/2 < r$）；$N_+ = N$ 被引理条件排除，故 $1 < N_-, N_+ < N$
以 $N = 15$、$a = 7$、$r = 4$ 验证：$7^2 - 1 = 48$，$\gcd(48, 15) = 3$；$7^2 + 1 = 50$，$\gcd(50, 15) = 5$——素因子 3 与 5 各被一侧捕获，$N = N_-\cdot N_+ = 3\times 5$，阶直接还原出因数分解。