引理 1：周期怎么变成因子

• 命题框：N 奇合数、gcd(a, N) = 1、r 为 a 模 N 的阶；若 r 偶且 a^{r/2} ≢ −1 (mod N)，则 gcd(a^{r/2} − 1, N) 与 gcd(a^{r/2} + 1, N) 都是 N 的非平凡因子
• 推导步骤（四步，逐行）：

1. N ∣ (a^r − 1) = (a^{r/2} − 1)(a^{r/2} + 1)（阶定义 + 平方差）

2. 两因子之差为 2 → gcd(a^{r/2}−1, a^{r/2}+1) ∣ 2；N 奇 → 奇素数 p 不能同时整除两因子

3. 每个素幂 p^e 整体落入一侧：N = N₋·N₊，其中 N₋ = gcd(a^{r/2}−1, N)、N₊ = gcd(a^{r/2}+1, N)，且 gcd(N₋, N₊) = 1

4. N₋ = N ⟺ a^{r/2} ≡ 1，与 r 的最小性矛盾（0 < r/2 < r）；N₊ = N 被引理条件排除 → 1 < N₋, N₊ < N

• 验证演算（N = 15, a = 7, r = 4）：7² − 1 = 48 → gcd(48, 15) = 3；7² + 1 = 50 → gcd(50, 15) = 5；素因子 {3, 5} 各被一侧捕获
• 结果框：N = N₋·N₊ = 3×5 ✓——阶直接还原出因数分解