失败概率：至少一半会赢

• 命题框（工具）：p − 1 = 2^(t_p)·u_p（u_p 奇）；Z_p* 是 p−1 阶循环群；CRT：r = lcm(r_p, r_q)
• 推导步骤：

1. 循环群计数：v₂(r_p) = s 的比例 2^(s−1−t_p)（1 ≤ s ≤ t_p），r_p 为奇的比例 2^(−t_p)

2. 情况一（r 奇 ⟺ r_p、r_q 均奇）：P = 2^(−(t_p+t_q)) ≤ ¼

3. 情况二（r 偶）：域 Z_p 中 1 的平方根只有 ±1 → 符号组合 (+,+) 与 r 最小性矛盾；(−,−) 即 a^{r/2} ≡ −1 失败；P(−,−) = (2^(2m)−1)/(3·2^(t_p+t_q))，m = min(t_p, t_q)

4. 合计：P_失败 = (2^(2m)+2)/(3·2^(t_p+t_q)) ≤ ½；等号在 t_p = t_q = 1（p ≡ q ≡ 3 mod 4）时取到，两种失败各 ¼

• 演算卡（N = 15 = 3×5）：t_p = 1（3−1 = 2 = 2¹·1）、t_q = 2（5−1 = 4 = 2²·1）、m = 1 → P(r 奇) = 2⁻³ = ⅛；P(−,−) = (4−1)/(3·8) = ⅛ → 理论失败率 ¼
• 枚举验证卡（教材全量枚举，gcd(a,15)=1 共 7 个）：仅 a = 14 失败（14 ≡ −1，即 (−,−) 情形）；成功 6/7 ≈ 0.857 ≥ ½ ✓