- 命题框：测寄存器 2 后 $|\varphi\rangle = (1/\sqrt{M})\cdot\sum_{k=0}^{M-1} |x_0+kr\rangle$，$M \approx Q/r$；QFT 后第 $j$ 分量 $\alpha_j = e^{2\pi ijx_0/Q}/\sqrt{QM}\cdot\sum_{k=0}^{M-1} [e^{2\pi ijr/Q}]^k$
- 推导步骤（几何级数，逐行）：
- 内层为公比 $e^{2\pi i\Delta}$（$\Delta = jr/Q$）、共 $M$ 项的等比级数 → 模长 $= |\sin(\pi M\Delta)/\sin(\pi\Delta)|$
- $\Delta$ 近整数 → 各项几乎同相 → 模长 $\approx M$（相长）；$\Delta$ 近半整数 → 两两反相 → 模长 $\approx 0$（相消）
- 用 $\sin t \ge (2/\pi)\cdot t$ 与 $|\sin t| \le |t|$：$|\Delta| \le 1/(2M)$ 时模长 $\ge 2M/\pi \approx 0.64\cdot M$
- 取 $j_c$ 为最接近 $cQ/r$ 的整数：$|\Delta| \le r/2Q \lesssim 1/(2M)$ → $P(j_c) \gtrsim (4/\pi^2)\cdot(M/Q) \approx 4/(\pi^2 r)$；$r$ 个峰合计 $\approx 4/\pi^2 \approx 0.40$
- 演算卡（$Q = 256$、$r = 4$、$r \mid Q$）：$M = Q/r = 64$；四峰 $j_c = 64c = 0, 64, 128, 192$，无展宽，各以 $M/Q = 1/4$ 测得；下界检验 $4/(\pi^2 r) = 1/\pi^2 \approx 0.10 \le 0.25$ ✓
- 结果框（大字）：$|j_c/Q - c/r| \le 1/(2Q) \le 1/(2N^2) < 1/(2r^2)$——$Q \ge N^2$ 的全部用意所在
类型definition-derivation + 图表（本课最技术一页）