按第三个寄存器分组：$|\psi_1\rangle = \frac{1}{n}\sum_r\bigl(\sum_{b\in\mathbb{Z}_n}|r-xb \bmod n\rangle|b\rangle\bigr)|g^r\rangle$。对前两个寄存器做 QFT 后，基态 $|c\rangle|d\rangle|g^r\rangle$ 的振幅为 $\alpha_{c,d,r} = \frac{e^{2\pi irc/n}}{n^2}\sum_{b\in\mathbb{Z}_n}\bigl(e^{2\pi i(d-xc)/n}\bigr)^b$，其中与 $b$ 无关的相位因子已提出求和号。内层是公比 $\omega^{d-xc}$（$\omega = e^{2\pi i/n}$，共 $n$ 项）的几何级数，只有两种命运：若 $d \equiv xc \pmod{n}$，公比为 1，级数等于 $n$；若 $d \not\equiv xc$，公比是不等于 1 的 $n$ 次单位根，级数 $= \frac{1-1}{\omega^{d-xc}-1} = 0$，对应单位圆上 $n$ 个旋转矢量首尾相接的相消干涉。因此振幅非零当且仅当 $xc \equiv d \pmod{n}$，非零模长为 $n/n^2 = 1/n$；$r$ 只出现在相位因子中、不影响模长，对 $r$ 求和后 $P(c,d) = n\cdot(1/n)^2 = 1/n$。合法的 $(c,d)$ 恰有 $n$ 对，概率总和为 1——每次测量给出一个 $c$ 均匀分布的线性方程。