测量分布：几何级数的完整推导（上半场核心）

• 命题框：按第三个寄存器分组 |ψ₁⟩ = (1/n)·Σ_r (Σ_{b∈Zₙ} |r−xb mod n⟩|b⟩)|gʳ⟩；基态 |c⟩|d⟩|gʳ⟩ 的振幅 α_{c,d,r} = (e^{2πirc/n}/n²)·Σ_{b∈Zₙ} (e^{2πi(d−xc)/n})ᵇ
• 推导步骤（逐行）：

1. QFT 展开：对每个 |a⟩|b⟩ 代入 a = r−xb，相位 = 2πi[(r−xb)c+bd]/n；与 b 无关的因子 e^{2πirc/n} 提出求和号

2. 内层是公比 ω^{d−xc} 的几何级数（ω = e^{2πi/n}，共 n 项）：1 + ω^{d−xc} + (ω^{d−xc})² + ⋯ + (ω^{d−xc})ⁿ⁻¹

3. 若 d ≡ xc (mod n)：公比 = 1，级数 = n

4. 若 d ≢ xc：(ω^{d−xc})ⁿ = e^{2πi(d−xc)} = 1 ≠ 公比 → 级数 = (1−1)/(ω^{d−xc}−1) = 0——n 个旋转矢量首尾相接，相消干涉

5. 概率：非零振幅的模 = n/n² = 1/n；r 只出现在相位因子中 → 对 r 求和模长不变，P(c,d) = n·(1/n)² = 1/n

• 结果框：振幅非零 ⇔ xc ≡ d (mod n)；(c,d) 均匀分布于 {(c, xc mod n) : c ∈ Zₙ}——恰 n 对，概率和 = n×(1/n) = 1 ✓；每次测量白送一个线性方程