构造一 LCU：PREP–SELECT–PREP† 三明治

• 命题框：若 A = Σ_{k=1}^{L} α_k U_k（酉的线性组合），则 U_A = PREP†·SELECT·PREP 是其块编码
• 构造步骤：

1. 归一化常数：λ = Σ_k|α_k|（系数向量的 1-范数）；辅助比特 m_a = ⌈log₂L⌉

2. PREP：PREP|0⟩^{⊗m_a} = |A⟩ = (1/√λ) Σ_k √|α_k|·|k⟩——振幅取平方根，模方后恰好按 |α_k| 称重

3. SELECT：SELECT = Σ_k|k⟩⟨k| ⊗ sgn(α_k)·U_k——负号吸收进受控酉

4. 演算（教材练习 2：A = 3I + 4X）：λ = |3| + |4| = 7，m_a = ⌈log₂2⌉ = 1；|A⟩ = √(3/7)|0⟩ + √(4/7)|1⟩ ≈ 0.655|0⟩ + 0.756|1⟩；SELECT = |0⟩⟨0|⊗I + |1⟩⟨1|⊗X

5. 归一化验证：|√(3/7)|² + |√(4/7)|² = 3/7 + 4/7 = 1 ✓

• 结果框：电路 = PREP → SELECT → PREP† 三明治；PREP 摊开分支、SELECT 按分支执行、PREP† 收拢