LCU（Linear Combination of Unitaries）适用于可写成酉线性组合 $A = \sum_{k=1}^{L}\alpha_k U_k$ 的矩阵，构造是三明治 $U_A = \mathrm{PREP}^\dagger\cdot\mathrm{SELECT}\cdot\mathrm{PREP}$。归一化常数取系数的 1-范数 $\lambda = \sum_k|\alpha_k|$，辅助比特 $m_a = \lceil\log_2 L\rceil$；PREP 在辅助寄存器上制备振幅态
$$\mathrm{PREP}\,|0\rangle^{\otimes m_a} = |\mathcal A\rangle = \frac{1}{\sqrt\lambda}\sum_{k=1}^{L}\sqrt{|\alpha_k|}\,|k\rangle$$
振幅开根号使各分支模方恰为 $|\alpha_k|/\lambda$，严格按系数称重。SELECT 按辅助基矢选酉，$\mathrm{SELECT} = \sum_k|k\rangle\langle k|\otimes\mathrm{sgn}(\alpha_k)U_k$，负系数的符号必须吸收进受控酉——不吸收则左上块还原的是只含绝对值的 $\frac{1}{\lambda}\sum_k|\alpha_k|U_k$。演算 $A = 3I + 4X$：$\lambda = |3| + |4| = 7$，$m_a = 1$，$|\mathcal A\rangle = \sqrt{3/7}\,|0\rangle + \sqrt{4/7}\,|1\rangle \approx 0.655|0\rangle + 0.756|1\rangle$，$\mathrm{SELECT} = |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes X$，且 $3/7 + 4/7 = 1$ 归一化成立。