第 16 课 · 块编码——SELECT/PREPARE 与三种构造 · 模块三：现代算法体系

验证与代价：左上块恰好是 $A/\lambda$

  • 命题框：要证 $(\langle 0|^{\otimes m_a}\otimes I) U_A (|0\rangle^{\otimes m_a}\otimes I) = A/\lambda$——恰好、零误差
  • 推导步骤（逐行，等号对齐感）：
    1. 投影穿透：$\langle 0|^{\otimes m_a}\cdot\mathrm{PREP}^\dagger = \langle A|$ $\Rightarrow$ 左上块 $= (\langle A|\otimes I)\cdot\mathrm{SELECT}\cdot(|A\rangle\otimes I)$
    2. 分支振幅：$\langle A|k\rangle = \sqrt{|\alpha_k|/\lambda}$
    3. SELECT 谱分解逐项代入，每支贡献 $\sqrt{|\alpha_k|/\lambda}\cdot\mathrm{sgn}(\alpha_k)\cdot\sqrt{|\alpha_k|/\lambda} = |\alpha_k|\cdot\mathrm{sgn}(\alpha_k)/\lambda = \alpha_k/\lambda$
    4. 求和：$(\langle A|\otimes I)\mathrm{SELECT}(|A\rangle\otimes I) = \sum_k (\alpha_k/\lambda)U_k = A/\lambda$
    5. 演算（$A = 3I + 4X$）：左上块 $= (3/7)I + (4/7)X = A/7$，矩阵形式 $[[3/7, 4/7],[4/7, 3/7]]$，逐元可验
  • 结果框：$U_A$ 是 $A$ 的 $(\lambda, m_a, 0)$-块编码——精确构造，无浪费
  • 门复杂度表：PREP $O(\mathrm{poly}(m_a))$（取决于 $\vec{\alpha}$ 结构）／SELECT $O(L\cdot C_U)$（$C_U$ 为单个 $U_k$ 门数）／总计 $O(L\cdot C_U + \mathrm{poly}(m_a))$
类型definition-derivation（本课核心推导，占满）