对角矩阵 $D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_N)$（$|d_j| \le \alpha$）只需一个辅助比特：$U_A = \sum_j|j\rangle\langle j|\otimes R_y(2\arccos(d_j/\alpha))$，系统寄存器处于 $|j\rangle$ 时辅助比特转角 $2\theta_j$，旋转角里直接写着对角元。原理是 $\langle 0|R_y(2\theta)|0\rangle = \cos\theta$：代入 $\theta_j = \arccos(d_j/\alpha)$ 得 $\cos\theta_j = d_j/\alpha$，辅助比特留在全零的振幅恰为对角元除以 $\alpha$，左上块 $= \sum_j|j\rangle\langle j|\cdot(d_j/\alpha) = D/\alpha$。演算 $D = \mathrm{diag}(1, -1)$、$\alpha = 1$：$\theta_1 = \arccos(1) = 0$、$\theta_2 = \arccos(-1) = \pi$，对应 $R_y(0) = I$ 与 $R_y(2\pi) = -I$，$\cos 0 = 1$、$\cos\pi = -1$ 验证成立。约束 $\alpha \ge \max_j|d_j|$ 由 $\arccos$ 的定义域 $[-1, 1]$ 强制；门数为 $O(N)$，而 $N = 2^n$ 随比特数指数增长，故该构造仅对小系统或结构化（稀疏、平滑）的对角矩阵实用。补充：有 QRAM 时任意矩阵都能 $O(\mathrm{poly}(n))$ 编码，但 QRAM 的物理实现是重大挑战，第 25 课专门讨论。