第 16 课 · 块编码——SELECT/PREPARE 与三种构造 · 模块三：现代算法体系

性质一：乘积

  • 命题框：辅助寄存器互不重叠时，$U_B U_A$ 是 $BA$ 的 $(\alpha_A\alpha_B, m_A + m_B, \alpha_B\varepsilon_A + \alpha_A\varepsilon_B + \varepsilon_A\varepsilon_B)$-块编码
  • 推导步骤（记 $\tilde{A}$、$\tilde{B}$ 为两者左上块，$\Pi_A$、$\Pi_B$ 为辅助投影）：
    1. $U_A$ 不触碰 B-寄存器 $\Rightarrow$ $\Pi_B$ 与 $U_A$ 对易 $\Rightarrow$ 投影逐层穿透：$(\langle 0_B 0_A|\otimes I)U_B U_A(|0_B 0_A\rangle\otimes I) = \tilde{B}\cdot\tilde{A}$（$*$-块交叉项恒为零）
    2. 误差分解：$\alpha_B\tilde{B}\cdot\alpha_A\tilde{A} - BA = \alpha_B\tilde{B}(\alpha_A\tilde{A} - A) + (\alpha_B\tilde{B} - B)A$
    3. 取范数：$\le \alpha_B\cdot 1\cdot\varepsilon_A + \varepsilon_B\cdot\lVert A\rVert \le \alpha_B\varepsilon_A + \varepsilon_B(\alpha_A + \varepsilon_A)$
    4. 演算（教材练习 5/6 数值）：精确编码相乘误差为 0——$(\alpha_A, m_A, 0) \times (\alpha_B, m_B, 0)$ $\Rightarrow$ 三元组 $(\alpha_A\alpha_B, m_A+m_B, 0)$；取 $\alpha_A = 2$、$\alpha_B = 3$ 得 $BA$ 的 $(6, m_A+m_B, 0)$-块编码
  • 结果框 + 警示：共用辅助寄存器时 $*$-块乘积不再为零、无法控制——独立寄存器是硬前提
  • 速览条：缩放——同一 $U_A$ 改标注即成 $\beta A$ 的 $(\beta\alpha, m, \beta\varepsilon)$-编码（$\beta U_A$ 非酉，电路一字不改）；伴随——$U_A^\dagger$ 是 $A^\dagger$ 的 $(\alpha, m, \varepsilon)$-编码（对不等式取伴随，范数不变）
类型definition-derivation