性质一：乘积

• 命题框：辅助寄存器互不重叠时，U_B U_A 是 BA 的 (α_Aα_B, m_A + m_B, α_Bε_A + α_Aε_B + ε_Aε_B)-块编码
• 推导步骤（记 Ã、B̃ 为两者左上块，Π_A、Π_B 为辅助投影）：

1. U_A 不触碰 B-寄存器 ⇒ Π_B 与 U_A 对易 ⇒ 投影逐层穿透：(⟨0_B 0_A|⊗I)U_B U_A(|0_B 0_A⟩⊗I) = B̃·Ã（*-块交叉项恒为零）

2. 误差分解：α_B B̃·α_A Ã − BA = α_B B̃(α_A Ã − A) + (α_B B̃ − B)A

3. 取范数：≤ α_B·1·ε_A + ε_B·‖A‖ ≤ α_Bε_A + ε_B(α_A + ε_A)

4. 演算（教材练习 5/6 数值）：精确编码相乘误差为 0——(α_A, m_A, 0) × (α_B, m_B, 0) ⇒ 三元组 (α_Aα_B, m_A+m_B, 0)；取 α_A = 2、α_B = 3 得 BA 的 (6, m_A+m_B, 0)-块编码

• 结果框 + 警示：共用辅助寄存器时 *-块乘积不再为零、无法控制——独立寄存器是硬前提
• 速览条：缩放——同一 U_A 改标注即成 βA 的 (βα, m, βε)-编码（βU_A 非酉，电路一字不改）；伴随——U_A† 是 A† 的 (α, m, ε)-编码（对不等式取伴随，范数不变）