第 16 课 · 块编码——SELECT/PREPARE 与三种构造 · 模块三：现代算法体系

性质二：线性组合

  • 命题框：$cA + dB$ 存在 $(|c|\alpha_A + |d|\alpha_B, 1 + m_A + m_B, |c|\varepsilon_A + |d|\varepsilon_B)$-块编码
  • 推导步骤：
    1. 反例：$cU_A + dU_B$ 一般不满足 $U^\dagger U = I$ $\Rightarrow$ 酉不能直接相加，需引入选择辅助比特
    2. 振幅：$a_0 = c\alpha_A/(|c|\alpha_A + |d|\alpha_B)$、$a_1 = d\alpha_B/(|c|\alpha_A + |d|\alpha_B)$；$|a_0| + |a_1| = 1$ $\Rightarrow$ 单比特旋转即可制备
    3. 受控选择：$\mathcal{U} = |0\rangle\langle 0|\otimes U_A + |1\rangle\langle 1|\otimes U_B$，两分支分别贡献 $a_0\tilde{A}$ 与 $a_1\tilde{B}$
    4. 左上块 $= a_0\tilde{A} + a_1\tilde{B} = (cA + dB)/(|c|\alpha_A + |d|\alpha_B) + O(\text{误差})$，三角不等式收尾
    5. 演算（教材练习 6：$(2, m, 0)$ 与 $(3, m, 0)$ 编码）：$A + B$ $\Rightarrow$ $a_0 = 2/5 = 0.4$、$a_1 = 3/5 = 0.6$，$|a_0| + |a_1| = 1$ ✓，归一化常数 $2 + 3 = 5$、辅助比特 $1 + 2m$；$A - iB$ $\Rightarrow$ $|-i|\cdot 3 = 3$，常数仍为 5
  • 结果框：归一化常数按绝对值相加——$|c|\alpha_A + |d|\alpha_B$，没有抵消红利
类型definition-derivation