信号旋转 × 相位旋转

• 命题框：W(x) = [[x, i√(1−x²); i√(1−x²), x]]，x ∈ [−1,1]；S(φ) = e^{iφZ} = diag(e^{iφ}, e^{−iφ})
• 推导/演算步骤（编号逐行）：

1. 酉性·行内积：x·(−i√(1−x²)) + i√(1−x²)·x = 0（一负一正恰好抵消）

2. 酉性·行范数平方：x² + (1−x²) = 1

3. 演算 x = 1/2：W(1/2) = [[1/2, i√3/2; i√3/2, 1/2]]，行范数平方 1/4 + 3/4 = 1 ✓

4. 旋转本质：令 x = cos φ ⇒ W(x) = cos φ·I + i·sin φ·X = e^{iφX}（指数级数按 X² = I 奇偶分组收口）

5. d 阶序列：U_QSP(Φ; x) = S(Φ₀)·∏_{k=1}^{d} W(x)·S(Φₖ)——信号旋转 d 次、相位旋转 d+1 次，交替摆放

• 结果框：每乘一个 W(x)，矩阵元中 x 的次数至多升 1 ⇒ d 次信号旋转给出 deg ≤ d 的多项式——多项式性是乘法结构的自动后果，不是设计出来的
• 脚注（一行）：本课取 X-信号、Z-处理器约定；与 Low–Chuang（2017）原始约定相差一个 Hadamard 基变换，可达多项式集合一致