第 17 课 · 量子信号处理——多项式变换与相位因子 · 模块三：现代算法体系

信号旋转 $\times$ 相位旋转

  • 命题框：$W(x) = [[x, i\sqrt{1-x^2}; i\sqrt{1-x^2}, x]]$，$x \in [-1,1]$；$S(\phi) = e^{i\phi Z} = \mathrm{diag}(e^{i\phi}, e^{-i\phi})$
  • 推导/演算步骤（编号逐行）：
    1. 酉性·行内积：$x\cdot(-i\sqrt{1-x^2}) + i\sqrt{1-x^2}\cdot x = 0$（一负一正恰好抵消）
    2. 酉性·行范数平方：$x^2 + (1-x^2) = 1$
    3. 演算 $x = 1/2$：$W(1/2) = [[1/2, i\sqrt{3}/2; i\sqrt{3}/2, 1/2]]$，行范数平方 $1/4 + 3/4 = 1$ ✓
    4. 旋转本质：令 $x = \cos\phi$ $\Rightarrow$ $W(x) = \cos\phi\cdot I + i\cdot\sin\phi\cdot X = e^{i\phi X}$（指数级数按 $X^2 = I$ 奇偶分组收口）
    5. $d$ 阶序列：$U_{QSP}(\Phi; x) = S(\Phi_0)\cdot\prod_{k=1}^{d} W(x)\cdot S(\Phi_k)$——信号旋转 $d$ 次、相位旋转 $d+1$ 次，交替摆放
  • 结果框：每乘一个 $W(x)$，矩阵元中 $x$ 的次数至多升 1 $\Rightarrow$ $d$ 次信号旋转给出 $\deg \le d$ 的多项式——多项式性是乘法结构的自动后果，不是设计出来的
  • 脚注（一行）：本课取 X-信号、Z-处理器约定；与 Low–Chuang（2017）原始约定相差一个 Hadamard 基变换，可达多项式集合一致
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